PA E PG

Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a seguir.

a) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados? 
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?

 Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário 4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 palitos. Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e assim por diante. 
Então, temos uma progressão aritmética: 
PA (4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a₁ = 4, a razão (ou diferença) r = 3 . 
Assim, temos que encontrar o centésimo termo somando 99 razões ao primeiro termo, ou seja, 
a₁₀₀ = a₁ + 99r = 4 + 99(3) = 4 + 297 = 301 .

b) O enésimo termo a_n = a₁ + (n-1)r é o número de palitos e o número de termos n é o número de quadrados . 
Assim, 250 = a₁ + (n-1)r. Segue que 250 = 4 + (n - 1)(3). 
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3. Daí, vem que:: n = (250 - 1) / 3. Logo: n = 249 / 3 = 83 quadrados.

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Questão 2

 O 5º termo de uma P.G. é igual a 112 e o 1º termo é igual a 7. Determine a razão dessa P.G.

Solução: Sabemos que a₅ = a₁.q^{5 - 1}

Assim,

Questão 3

Um atleta, pelo período de 30 dias, seguiu seu ritmo de treino em progressão aritmética. Sabendo que no 5º dia de treino ele correu 3000 metros e no 12º dia ele correu 5100 metros, determine quantos metros ele correu no 30º dia.

Questão 4

Determine o 1001º termo da PA.(30,36,42...).

a) 630
b) 6030
c) 3060
d) 3006 

Solução:

a1=30
a2=36
razão=30-36=6
n=1001

an=a1+(n-1).r
a1001=30+(1001-1).6
a1001=30+1000.6
a1001=30+6000
a1001=6030

Questão 5

Enem 2011 – O número mensal de passageiros de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a)38000
b)40500
c)41000
d)42000
e) 48000

RESPOSTA

Podemos construir a seguinte PA: (33000, 34500, 36000,…) de razão r=34500-33000=1500 e a1=33000. Onde o primeiro termo representa a quantidade de passagens do mês de janeiro, o segundo termo a quantidade do mês de fevereiro, o terceiro a quantidade de março, a assim por diante. Como queremos encontrar a quantidade de passagens vendidas no mês de julho (mês 7), queremos encontrar qual é o elemento dessa PA que ocupa a posição 7, ou seja, queremos encontrar o a7.

Pela fórmula do termo geral da PA temos:

Resposta: D.

Questão 6

Ache três números em P.A. crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.

(x-r) + x + (x+r) = 15 (cancela o r)
x+x+x=15
3x=15
x=15/3
x=5
Agora o produto, que é a multiplicação desses 3 números, então fica assim:
x-r * x * x+r = 105
(5-r) * 5 * (5+r) = 105
(5-r)² * 5 = 105
(25 - r²) * 5 = 105
125 - 5r² = 105
5r²=20
r² = 20/5
r² = 4  , r =2

agora que descobrimos a variante da P.A, que é 2, podemos descobrir os valores:
(5-2) + 5 + (5+2) = 15
3 + 5 +7 =15

O primeiro termo é 3, o segundo é 5 e o terceiro é 7.

Questão 7

O valor de x , de modo que a seqüência (3^{x +1}, 3^{4 - x},  3^{3x +1}) seja uma progressão geométrica é:

 A) 1        B)  2     C)   3      D)  4

a¹.a³=(a²)²

resposta letra A

Questão 8

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). 

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2esquecidos são, respectivamente,

A 0 e 9. 
B 1 e 4. 
C 1 e 7. 

D 9 e 1.

E 0 e 1.

Solução: Resposta item A 

123.456.789 - ___ ___ 

Dígito 1 
(1*10) + (2*9) + (3*8) + (4*7) + (5*6) + (6*5) + (7*4) + (8*3) + (9*2) 
10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 = 210 
210 : 11 = 19 e resto 1, então d₁ = 0 

Dígito 2 
(2*10) + (3*9) + (4*8) + (5*7) + (6*6) + (7*5) + (8*4) + (9*3) + (0*2) 
20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0 = 244 
244 : 11 = 22 e resto 2, então d₂ = 9 

Determine o 1001º termo da PA.(30,36,42...).

a) 630
b) 6030
c) 3060
d) 3006 

Solução:

a1=30
a2=36
razão=30-36=6
n=1001

an=a1+(n-1).r
a1001=30+(1001-1).6
a1001=30+1000.6
a1001=30+6000
a1001=6030

 Que

Questão 7

 10.(STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S₂₀ = 20( a₁ + a₂₀)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a₆ + a₁₅ = a₁ + a₂₀

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a₆ + a₁₅)/2 = -15 => 10(a₆ + a₁₅) = -15

=> a₆ + a₁₅ = -15/10 = -1,5

11) Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual será o valor obtido?

A razão da sucessão pode ser obtida da seguinte forma:

Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:

Calculando temos:

Logo:

O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será de 7651.

13.Qual é o centésimo número natural par? Resp: a₁₀₀=198

14) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

15) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).

16) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, 16,...).

17) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

(UFF) Um capital inicial de R$100,00 é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros simples de 20% ao mês, ou seja, o valor do capital é alterado a cada mês com um aumento de 20% em relação ao capital inicial. A sequência de valores do capital, a cada mês, forma uma:
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 2

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Solução: Temos que R$100,00 é o valor do capital inicial. Como, 20% de 100 é 0,2×100 = 20, a sequência de valores (veja a tabela) é uma progressão aritmética (sequência linear), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um número fixo (que no caso é 20).

ao final do primeiro mês	ao final do segundo mês	ao final do terceiro mês	ao final do quarto mês	e assim por diante
R$120,00	R$140,00	R$160,00	R$180.00	. . .

Portanto, temos uma Progressão Aritmética de razão (ou diferença) r = 20. Logo, (C) é a alternativa correta.