Revisão para 2ºano sistemas lineares

1. (Vunesp 2010) Considere o seguinte sistema linear:

x-2y+2z=5

x+2y+4z=9

-x+4y+2z

Pode-se afirmar que o valor de z é

(A) –2.

(B) –1.

(C) 0.

(D) 1.

(E) 2.

Resolução 1

Método da soma:

x - 2y + 2z = 5 (I)

x + 2y + 4z = 9 (II)

-x + 4y + 2z= 3 (III)

Da (I) e (II) equação, temos:

-x + 2y - 2z = - 5 

 x + 2y + 4z = 9

       4y + 2z = 4  (IV)

Da (II) e (III) equação, temos:

 x + 2y + 4z = 9 

-x + 4y + 2z = 3 

       6y + 6z =  12  (1/6)

       y + z =  2  (V)

Da (IV) e (V) equação, temos:

4y + 2z = 4

y + z = 2 (-4)

 4y + 2z = 4

-4y - 4z = -8

      - 2z = - 4

          z = 2

2.Uma herança de R$ 360 000,00 deverá ser dividida em duas partes, x e y, de tal modo que y/x=5/4.

Determine os valores de x e y.

Tem-se

x+y=360000

y=5/4x

Substituindo-se o valor de y da segunda equação na primeira equação, segue-se que x=160000 e y=200000

.3.

Um feirante tem dois tipos de castanhas. Um dos tipos custa R$ 9,00 o quilo e o outro, R$ 6,00. Ele deseja fazer 50 quilos de uma mistura de castanhas que deverá custar R$ 7,20 o quilo. Que quantidade de cada tipo de castanha a mistura deve ter?

Nos 50 kg de mistura, sejam  a quantidade, em quilogramas, da castanha que custa R$ 9,00 o quilograma e  a quantidade da que custa R$ 6,00. Pretende-se que

Além disso, o custo dos 50 kg de mistura é  e para que isso seja equivalente a R$ 7,20 por quilograma, é necessário que

Resolvendo o sistema formado pelas equações acima, obtém-se

 e 

Portanto, a mistura deve ser composta de 20 kg de castanha mais cara e 30 kg da castanha mais barata.

 4.Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial. 

Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI. 
Será: 

SPD: se admitir somente uma solução trivial. 
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções. 

Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma: 

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ...+a_1nx_n = 0 
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃+ ... +a_2nx_n = 0 

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃+...+a_mnx_n= 0 


Consideremos o sistema: 
2x + 2y + 2z = 0 
4x – 2y – 2z = 0 
2x + 2y – 4z = 0 

Ao aplicarmos Sarrus: 
2    2       2 
4   -2    - 2 
2    2     -4 

Verificamos que D = 72, portanto D ≠ 0 e m = n (m: número de linhas e n: número de colunas). 
Podemos concluir que o sistema SPD

5.