Análise combinatória

1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

90                            100                       110                              130                                   120

Solução. Cada item do cardápio pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades são: 2 x 4 x 5 x 3 = 120 possibilidades.

 

2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?

60                           120                     240                               40                                     80

Solução. Números com três algarismos distintos quer dizer que uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ela não poderá mais aparecer. No caso há seis algarismos a serem utilizados. As possibilidades são começando das centenas. (poderia iniciar das unidades ou dezenas)

Centenas simples	Dezenas simples	Unidades simples
6 possibilidades	5 possibilidades	4 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (um alg já foi usado)	3ª escolha (dois alg já foram usados)

Logo há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.

3. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?

52                           86                       24                                 32                                      48

Solução. Cada item do vestuário pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades são: 2 x 4 x 6 = 48 possibilidades.

4. No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

20                          60                      120                                 125                                    243

Solução. As vogais podem ser repetidas de forma que as possibilidades podem ser: 5 x 5 x 5 = 125.

5. Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

1 000 000                   2 000 000               3 000 000                   6 000 000                   7 000 000

Solução. A única restrição é que o 1º dígito a esquerda do formado por 7 algarismos seja fixo 2. Como há 10 algarismos de 0 a 9 e podem ser repetidos temos as possibilidades:

2 (fixo)	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9
1 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.

Logo, há 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000.

6. Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

90                            120                                180                                       240                             300

Solução. Se os números são menores que 30000, então com os algarismos envolvidos a dezena de milhar não pode ser 3, 4 ou 5 pois os demais formariam um número maior que o limite informado. A dezena de milhar será, então 1 ou 2.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
2 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo as possibilidades são: 2 x 5 x 4 x 3 x 2 = 240.

7. Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais ?

5⁹                                        9.8⁴                                             8. 9⁴                                                                  8⁵                                                    9⁵

Solução. Esse caso não exige que todos os algarismos sejam diferentes e sim, que os adjacentes o sejam. Isto é. Um algarismo utilizado na ordem das unidades poderá ser utilizado nas centenas, mas não nas dezenas ou unidades de milhar. Os algarismos vão de 0 a 9.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
9 possib.	9 possib.	9possib.	9 possib.	9 possib.
Não inicia por 0	Diferente da 1ª	Diferente da 2ª	Diferente da 3ª	Diferente da 4ª

Logo as possibilidades são: 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 9⁵.

8. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }?

15                                   23                                    28                            39                                    42

Solução. Não foi especificado quantos algarismos deve ter o número. Logo, devemos calcular para os casos de 1, 2 ou 3 algarismo. Nenhum número de 4 algarismo será formado.

a) 1 algarismo: números 1, 2 ou 3. Logo três possibilidades.

b) 2 algarismos: 3 possibilidades para as dezenas e 3 nas unidades. Logo 3 x 3 = 9 possibilidades.

c) 3 algarismos: 3 possibilidades para as centenas, 3 para as dezenas e 3 para as unidades: 3 x 3 x 3 = 27

Logo o total de números menores que 1000 é: 27 + 9 + 3 = 39 casos.

9. A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:

48                               54                              60                                            72                          144

Solução. Essa situação deverá ser dividida em duas situações:

a) O maior número com esses algarismos menor que 4500 é 43751. Com 4 na dezena de milhar:

4 (fixo)	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
1 possib.	2 possib.	3 possib.	2 possib.

b) Com 1 ou 3 nas dezena de milhar:

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
2 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo, há (1 x 2 x 3 x 2) + (2 x 4 x 3 x 2) = 12 + 48 = 60 possibilidades.

10. Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir ?

156                        60                                      6                         12                                         216

Solução. Um número é par se o algarismo das unidades simples for 0, 2, 4, 6 ou 8. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 0, 2 ou 4. Outra restrição é o fato de que a unidade de milhar não pode ser 0. Dividindo em duas situações, temos:

a) A unidade simples é 0.

4ª escolha	3ª escolha	2ª escolha	1ª escolha - 0
2 possib.	3 possib.	4 possib.	1 possib.

b) A unidade simples é 2 ou 4. A unidade de milhar não será 0.

2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	1ª escolha
3 possib.	3 possib.	2 possib.	2 possib.

Logo, há (2 x 3 x 4 x 1) + (3 x 3 x 2 x 2) = 24 + 36 = 60 possibilidades.

11. Sendo A = { 2, 3, 5, 6, 9, 13 } e B = {a^b / a ΠA, b Î A, a ≠  b}, o número de elementos de B que são pares é:

5                               8                                       10                                  12                             13

Solução. Lembrando que o produto entre números ímpares é ímpar e entre números pares é par, a situação será dividida em duas: com a = 2 e a = 6, pois só nesses casos as potências serão pares independente do expoente.

a) a = 2: O conjunto {2³, 2⁵, 2⁶, 2⁹, 2¹³} possui 5 elementos. Repare que não pertence 2².

b) a =6: O conjunto {6², 6³, 6⁵, 6⁹, 6¹³} possui 5 elementos. Repare que não pertence 6⁶.

Logo, há 5 + 5 = 10 possibilidades.

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1.Com as letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6!=720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário , a 250° palavra será ?


Resposta:

As primeiras palavras começaram com E (na ordem alfabética). 
Multiplicando as possibilidades serão 5! = 120 palavras começadas com E 

As próximas palavras começarão com F. Também serão 120 palavras. (Já deu 240) 

As próximas 10 palavras começarão com S. Precisamos encontrar a décima delas, que será a 250ª do dicionário de anagramas da palavra FUVEST. 
São elas: 

S... 
S... 
S... 
S... 
S... 
S... 
S... 
S... 
S... 
S... 

Se colocarmos o E na frente do S teremos então 4! = 24 palavras possíveis (pois teremos que organizar quatro letras na frente do SE) 

Logo: 

SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 
SE... 

A próxima letra na ordem alfabética é a F. Se colocarmos o F na frente de SE, teremos 3! = 6 palavras possíveis (pois precisaremos organizar as outras três letras UVT). Preencheremos o restante com a próxima letra do alfabeto (T) 

Logo: 

SEF... 
SEF... 
SEF... 
SEF... 
SEF... 
SEF... 
SET... 
SET... 
SET... 
SET... 

Nesse caso, teremos dois grupos de palavras. as que terminam em F e as que terminam em T. 
Para achar a 250ª palavra desse dicionário complicado, é interessante encontrar apenas o segundo grupo de palavras (as que tem o T como terceira letra) 

Nessas palavras, organizaremos as letras restantes: FUV. 
A primeira letra será F. Se colocarmos F na frente de cada palavra teremos duas palavras possíveis (organizando as outras duas letras). Portanto só poderemos colocar dois "F's": 

SETF... 
SETF... 
SET... 
SET... 

As outras duas palavras terão a letra U como terceira letra (que é a próxima letra do alfabeto): 

SETF... 
SETF... 
SETU... 
SETU... 

Nesse caso sabemos que a 250ª letra desse alfabeto começa com SETU... 

Só há duas possibilidades: 

SETUFV 
SETUVF 
Na ordem alfabética, a última delas é SETUVF. 

Resposta: A 250ª desse dicionário é SETUVF. 

2.O total de matrizes distintas que possuem apenas os 
números 1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem 
repetição, é igual a:
a) (4!)4
b) 16 . 4!
c) 5 . 16!
d) (16!)5
e) 1616
Resolução:
Usando todos os números de 1 a 16, conseguimos montar os 
seguintes tipos de matrizes:
— 1 linha e 16 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 2 linhas e 8 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 4 linhas e 4 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 8 linhas e 2 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 16 linhas e 1 coluna Þ 16! matrizes distintas
Portanto, podem ser formadas 5 . 16! matrizes distintas.

Alternativa C



3.Certo dia, Nair, Raul e seus quatro fi lhos foram jantar em um restaurante e lhes foi reservada uma mesa de 
formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na fi gura abaixo.
Tendo em vista que as cadeiras eram fixadas no solo e considerando que Raul e Nair sentaram-se apenas nas 
cabeceiras da mesa, de quantos modos toda a família pode ter se acomodado nas cadeiras para desfrutar do 
jantar?
A) 720
B) 360
C) 180
D) 150

E) 72


Do enunciado, temos as seguintes possibilidades para a escolha dos lugares nos quais as seis pessoas podem 
se sentar:
Pessoa Possibilidades
Nair 2
Raul 1
Filho 1 6
Filho 2 5
Filho 3 4
Filho 4 3
Dessa forma, pelo princípio fundamental de contagem, o número de modos como toda a família pode ser 
acomodada nas cadeiras é dado por:

2 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 720

4.Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.

Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P₅. Temos então:

P₅ = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

5.Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila?

Temos que calcular P₃, então:

P₃ = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

6.Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?

Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcularA_10, 2:

Então:

Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.

7.Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A_7, 3:

Logo:

210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados.

8.Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?

Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundoa repetição das cores, devemos calcular P₁₀^{(4, 3, 2)}:

Então:

Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.

9.Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P₅^{(2, 2)}:

Portanto:

O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.

10.Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?

Como na primeira posição sempre teremos a letra E, o número de possibilidades nesta posição é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P₁.

Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no começo, então para a oitava letra temos que calcular P₂:

P₂ = 2! = 2 . 1 = 2

Como para as demais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P₆:

P₆ = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Multiplicando tudo:

1 . 720 . 2 = 1440

11.Cinco pessoas estão preparando-se para viajar em um carro que comporta exatamente cinco passageiros,

incluindo o motorista. Se dentre as cinco pessoas que viajarão apenas três podem dirigir o carro, determine o

número de possibilidades da distribuição das pessoas nos bancos do carro.

3.4.3.2.1