Sistemas lineares

Resumindo

 Um sistema linear pode ser:

  a) possível e determinado (solução única);
  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
  c) impossível (não tem solução).

  Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

 a) possível e determinado, se D=det A diferente de 0; caso em que a solução é única.

 b) possível e indeterminado, se D= D_x1 = D_x2 = D_x3 = ... = D_xn= 0, para n=2. Se n maior ou igual a 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e  D_{xi diferente de} 0; caso em que o sistema não tem solução.

Dica! Sistema Homogêneo é quando todos os termos independentes das equações são nulos (todas as equações do sistema terminam em zero).
Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois sempre admitirá pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero).

Logo, sistema homogêneo ou é possível determinado (apenas a solução trivial) ou é possível indeterminado (tem a solução trivial e mais outras).

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

EXEMPLOS:

(FUVEST)

Então, x + y + z é igual a:

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

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ENEM-2011

 

Resolução

m = 100 000 n + 350 000

m = 120 000 n + 150 000

100 000 n + 350 000 = 120 000 n + 150 000 

100 n + 350  = 120 n + 150

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Exemplo: Resolva o sistema: 

Solução: Aplicamos -2L1 + L2 e -3L1 + L3 para eliminar x da segunda e terceira equações, e -4L2 + 3L3 para eliminar y da terceira equação.

O resultado final é o sistema escalonado   que admite como solução única S = {(2, -1, 3)}.
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 1. (Vunesp 2010) Considere o seguinte sistema linear:

Pode-se afirmar que o valor de z é
(A) –2.
(B) –1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 2.

Resolução 1

Método da soma:

x - 2y + 2z = 5 (I)

x + 2y + 4z = 9 (II)

-x + 4y + 2z= 3 (III)

Da (I) e (II) equação, temos:

-x + 2y - 2z = - 5 

 x + 2y + 4z = 9

       4y + 2z = 4  (IV)

Da (II) e (III) equação, temos:

 x + 2y + 4z = 9 

-x + 4y + 2z = 3 

       6y + 6z =  12  (1/6)

       y + z =  2  (V)

Da (IV) e (V) equação, temos:

4y + 2z = 4

y + z = 2 (-4)

 4y + 2z = 4

-4y - 4z = -8

      - 2z = - 4

          z = 2

Escalonamento:

Passo 1: L1 + L3 -> L3
x - 2y + 2z = 5 x + 2y + 4z = 9 -x + 4y + 2z= 3	~	x - 2y + 2z = 5 x + 2y + 4z = 9 0x + 2y + 4z= 8

Passo 2: L2 - L1 -> L2
x - 2y + 2z = 5 x + 2y + 4z = 9 0x + 2y + 4z= 8	~	x - 2y + 2z = 5 0x + 4y + 2z = 4 0x + 2y + 4z= 8

Passo 3: 2L3 - L2 -> L3
x - 2y + 2z = 5 0x + 4y + 2z = 4 0x + 2y + 4z= 8	~	x - 2y + 2z = 5 0x + 4y + 2z = 4 0x + 0y + 6z= 12

Passo 4: L3/6 -> L3
x - 2y + 2z = 5 0x + 4y + 2z = 4 0x + 0y + 6z= 12	~	x - 2y + 2z = 5 0x + 4y + 2z = 4 0x + 0y + z= 2

_________________________________________________________________________________NÃO ESQUEÇA!

Sistema Possível e Determinado: det D diferente 0
Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível: det D = 0

Macete! Caso resolva uma questão de múltipla esco-lha, aplique determinante para discutir o sistema. Caso discursiva, procure usar a técnica do escalona-mento, por ser uma resolução mais "refinada", e portanto muito mais valorizada pela banca corretora.

Dica! Sistema Homogêneo é quando todos os termos independentes das equações são nulos (todas as equações do sistema terminam em zero).
Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois sempre admitirá pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero).

Logo, sistema homogêneo ou é possível determinado (apenas a solução trivial) ou é possível indeterminado (tem a solução trivial e mais outras).

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(UFJF) O sistema x + y + z = 0; x - my + z = 0; mx + y + z = 0 admite solução não nula se, e somente:

a) m = 1
b) m = -1
c) m = 1 ou m = -1
d) m = 0

Solução: Admitir solução não nula significa possuir soluções além da trivial (0,0,0); logo para sistema possível indeterminado teremos det D = 0; calculando:

Letra c)

Função Modular

 Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:

|x| = x, se x for positivo.
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 

|x| = x, se x>0
|x| = -x, se x<0

 Resolva a equação |x² - 6x| = 9.

Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 

x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9

Resolvendo cada uma das equações:

x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√

ou

x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.

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Para esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:

Sabemos que:

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0

Então: 

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6

E por fim,

→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)

(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0  
b) 1  
c) 2  
d) 3  
e) 4

Solução:

Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:

5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3

5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1

Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.

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(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.

Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:

y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2

Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.