Polinômios e equações algébricas

1. Encontre as raízes e informe as multiplicidades:
 
a) p(x) = x (x³ - 1)
b) p(x) = x (x - 1)³
c) p(x) = x³ (x - 1)
d) p(x) = (x³ - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x³ + x² - 2)

2. Encontre as raízes:

a) x³ - 2x² - x + 2
b) x² + (2 - i) x - 2
c) x² - (2 + i) x + 2i
d) x³ - 2x² + x - 2
e) x³ + x² - x - 2

A diferença entre as capacidades de armazenamento de  um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x,x e 5 em dm³, é expressa por .

Considerando essa equação,

A) demonstre que 6 é uma de suas raízes;

B) calcule as suas raízes complexas.

A) 

Logo, 6 é raiz, já que torna a igualdade verdadeira.

B)  é raiz 

 e 

---

Questão 2

As equações acima, em que , têm uma raiz comum.

Determine todas as raízes não comuns.

 

 ou 

 ou 

  

Questão 3

Considere o polinômio  e a função real de variável real definida por . Sabe-se que uma das raízes de  é 1.

Escreva o domínio de  sob a forma de intervalo.

 

Assim,

 e  e 

Logo,

Questão 4

Na função quadrática f(x)= ax²+bx+C, x’=-1/2 e x’’=1/3. São suas raízes. Sabendo que f(1)=6,

f(x)=a.(x-x’).(x-x’’)

determine:

a)      A forma fatorada

      b)o valor numérico das constantes

Questão 4

     Simplifique as expressões:

a) (x+y)²–x²-y²

(x+y)²–x²-y²  =  x²+2xy+y²–x²-y²   =  2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x²+(2+(-7))x+2.(-7) + x²+(-5+3)x+3.(-5)  = 

x²-5x-14+ x²-2x-15  =  2x²-7x-29

c) (2x-y)²-4x(x-y)

(2x-y)²-4x(x-y)  =  (2x)²-2.2x.y+y²-4x²+4xy  =  4x²-4xy+y²-4x²+4xy =  y²    

Questão 5

Se  x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é:

a) 53

b) 109

c) 169

d) 420

Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar uma estratégia para resolução da questão:

Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim:

(x - y)² = 7², desenvolvendo temos:

x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y², arrumando 

x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo:

x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169.

Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros - e logo apareceu x² + y².

Marque v ou f

Propriedades importantes dos polinômios

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x³ - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5,   3 + 2i  e   4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.    

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)¹⁰ = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x³ = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x² - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x⁵ -10x³ + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x⁵ + 4x² = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x¹⁰⁰ + x¹² = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x₁ , x₂ , x₃ , ... , x_n são raízes da equação a_oxⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n= 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :a_o (x - x₁) . (x - x₂) . (x - x₃) . ... . (x - x_n) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x³ - 54x² + 51x + 106 = 0 . (verifique!)

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).
Note que –b/a é a raiz do divisor.  

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0  =>  x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.

17) (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16;
c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2;
e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo;

letra e

19) (UFRJ) Dados os polinômios: p(x) = 5 - 2x + 3x² , q(x) = 7 + x + x² - x³ e r(x) = 1- 3x + x⁴. O valor de p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é:

a) 5              b) 19            c) 11            d) 24             e) 14

letra b

Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

2) Esse exercício é bem complicadinho, requer muita atenção. Veja abaixo:

p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
Sabendo que 1 é raiz temos:
p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b = 16

Fazendo p(2) = 25
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52   : (2)
2a + b = 26

a + b = 16
2a + b = 26

a = 16 – b

2 * (16 – b) + b = 26
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6
b = 6

a = 16 – b
a = 16 – 6
a = 10

Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.

Os polinômios

P(x) = 2(x + 1)(x – 2)(x – 1/2)
Q(x) = (x + 1)(x – 2)(2x – 1)

podemos afirmar que:

(A) têm os mesmos zeros
(B) têm três zeros distintos
(C) não tem zeros
(D) têm um único zero
(E) têm exatamente dois zeros

letra a

Os polinômios

P(x) = x³ + 5x² – 2x – 24
Q(x) = x³ – 3x² – 10x + 24

são divisíveis por:

(A) 5x² – 2x – 24
(B) x² – x – 6
(C) x² + x – 6
(D) x
(E) x - 3

letra c

O polinômio

P(x) = x³ + 5x² – 2x – 24

é divisível por:

(A) 5x² – 2x – 24
(B) x² – x – 6
(C) x² + x – 6
(D) x
(E) x - 3

letra c

Sabe-se que o polinômio p(x) = ax³+ x² + bx + 1, em que a e b são números reais não nulos, é divisível por x–1 e, além disso, que o resto da divisão de p(x) por x–b é igual a 1.

Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar que

A) pelo menos um deles é um número inteiro.
B) o produto a.b é um número irracional.
C) a diferença a–b é um número irracional.
D) não existem números nas condições apresentadas.

Letra c

Um polinômio P(x) é divisível pelos polinômios (x² – 5x + 6) e (x² – 7x +12). Sobre esse polinômio são feitas três afirmações.

I. O grau de P(x) é igual a 4.
II. O grau de P(x) pode ser igual a 3.
III. O resto da divisão de P(x) por (x² – 6x + 8) é igual a 0.

É(São) verdadeira(s), necessariamente, apenas a(s) afirmação(ões)

a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e III.
e) II e III.

Letra e

(ENEM 2012 .Adaptada)

Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

a) 2xy

b) 15 – 3x

c) 15 – 5y

d) – 5y – 3x

e) 5y + 3x – xy

I.A representação de pontos neste plano é feita através de pares ordenados, onde o primeiro número se refere àabscissa e o segundo a ordenada.

II. O ponto P₁(3, 2) tem abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3, 2) representa um par ordenado. O pontoP₂(2, 3) tem abscissa 2 e ordenada 3. É importante frisarmos que os pontos P₁ e P₂ são pontos distintos, pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.

III. Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.

É correto afirmar que

a) apenas II é verdadeira.

b) apenas III é verdadeira.

c) apenas I e II são verdadeiras.

d) apenas I e III são verdadeiras.

e) I, II e III são verdadeiras.

7.Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.

O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
 

p(x) = x² – mx + 6
p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42  *(–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7

O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
 (FEI – SP)

Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c = 0 → c = 0

p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0 = 0 → a + b = 0

q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2

Temos que a = 1, b = – 1 e c = 0

sistemas lineares

1. João contou os coelhos, os patos e os bois que havia em sua fazenda, obtendo um total de 340 animais.

A seguir, verificou que o número de coelhos era o triplo do de patos e que o número de bois excedia em 20 unidades o total de coelhos e patos.

A) Determine o número de coelhos.

2.Um negociante de carros dispõe de certa quantia, em reais, para comprar dois modelos de carro, A e B.

Analisando as várias possibilidades de compra, concluiu, em relação a essa quantia, que:

- faltariam R$ 10 000,00 para comprar cinco unidades do modelo A e duas do modelo B;

- sobrariam R$ 29 000,00, se comprasse três unidades de cada modelo;

- gastaria exatamente a quantia disponível, se comprasse oito unidades do modelo B.

Estabeleça a quantia de que o negociante dispõe.

função modular

Agora tente resolver as duas questões a seguir:
1 - O número de soluções da equação | | x| - 1| = 1, no universo R é:
a) 0                  b) 1                 c) 2                  d) 3                 e) 4
2 - As raízes da equação | x| ² + | x| - 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis
Resp: 1D 2B

1.1      Exercícios resolvidos

Resolva em R - conjunto dos números reais - as seguintes inequações modulares:

a) |2x + 5| £ 11
SOLUÇÃO:
Vem imediatamente que: -11 £ 2x + 5 £ 11
Somando -5 a todos os membros, fica: -16 £ 2x £ 6
Daí, então, dividindo tudo por 2, concluímos finalmente: -8 £ x £ 3.
Logo, o conjunto solução da inequação dada será o conjunto S dado por:
S = {x Î R; -8 £ x £ 3} , que, representado na forma de um intervalo real, seria indicado por S = [-8, 3].
Graficamente, temos:

Observe que no conjunto R dos números reais, o conjunto solução da inequação dada é um conjunto infinito formado por todos os números reais a partir de - 8 até +3.
Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto solução da mesma inequação no conjunto Z dos números inteiros, o conjunto solução seria FINITO, e igual a:
S = {-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto solução da mesma inequação no conjunto N dos números naturais, o conjunto solução seria FINITO, e igual a:
S = {0, 1, 2, 3}.

É muito importante estar atento ao conjunto universo adotado na questão proposta.

Caso não seja feita nenhuma referencia, deveremos considerar que o conjunto universo adotado é sempre R - conjunto dos números reais.

b) |x - 1| > 5
SOLUÇÃO:
Teremos: x - 1 > 5 OU x - 1 < - 5
Portanto, x > 6 OU x < - 4.
O conjunto solução em R, será então: S = {x Î R; x > 6 ou x < - 4} .
Na forma de intervalo, teremos: S = (-¥ , -4) È (6, ¥ ).
Graficamente, temos:

Observe que, utilizando o conceito de diferença de conjuntos, poderemos exprimir o conjunto solução S também na forma: S = R - [-4, 6], onde R é o conjunto dos números reais.
c) |x + 3| + |2x - 8| ³ 20
SOLUÇÃO:
Como não podemos somar diretamente os módulos, vamos considerar o que segue:
Observe que as expressões entre módulo, se anulam para x = -3 e x = 4

Temos três casos a considerar:
1º caso: x < -3
Neste caso, teremos:
x + 3 < 0 Þ |x + 3| = - (x + 3)
2x - 8 < 0 Þ |2x - 8| = - (2x - 8)
Assim, a inequação dada será equivalente a:
- (x + 3) - (2x - 8) ³ 20 ou, eliminando os parênteses:  - x - 3 - 2x + 8 ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
x < - 3 e - x - 3 - 2x + 8 ³ 20.
Resolvendo este sistema de inequações, vem:
x < - 3 e x £ - 5, que é equivalente a x £ - 5.
Então, a primeira parte da solução do problema é o conjunto
S₁ = {x Î R; x £ - 5} = ( - ¥ , -5].
2º caso: - 3 £ x < 4
Neste caso, teremos:   x + 3 > 0 Þ |x + 3| = x + 3
2x - 8 < 0 Þ |2x - 8| = - (2x - 8)
Assim, a inequação dada será equivalente a:  x + 3 - (2x - 8) ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
- 3 £ x < 4 e x + 3 - (2x - 8) ³ 20
Resolvendo este sistema de inequações, vem: - 3 £ x < 4 e x £ - 9
Percebemos da figura abaixo, que a interseção é vazia, portanto, S₂ = Æ .
3º caso: x ³ 4
Neste caso, teremos:
x + 3 > 0 Þ |x + 3| = x + 3
2x - 8 > 0 Þ |2x - 8| = 2x - 8
Assim, a inequação dada será equivalente a:  x + 3 + 2x - 8 ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
x ³ 4 e x + 3 + 2x - 8 ³ 20


Resolvendo este sistema de inequações, vem:
x ³ 4 e x ³ 25/3, que é equivalente a x ³ 25/3, conforme podemos observar na figura abaixo.

Portanto, a terceira solução parcial será: S₃ = {x Î R; x ³ 25/3} = [25/3, ¥ )
A solução geral da inequação dada será então:
S = S₁ È S₂ È S₃ = ( - ¥ , -5] È Æ È [25/3, ¥ ) = ( - ¥ , -5] È [25/3, ¥ )
S = ( - ¥ , -5] È [25/3, ¥ ).

d)
SOLUÇÃO:
Observando que x² - 10x + 25 = (x - 5)² e lembrando que Ö a² = |a|, temos que:  |x - 5| £ 1 Û -1 £ x - 5 £ 1 Û -1 + 5 £ x - 5 + 5 £ 1 + 5 Û 4 £ x £ 6.
Logo, o conjunto solução da inequação dada, será o intervalo real:  S = [4, 6].

e) |3x - 9| £ 2x
SOLUÇÃO:
Observe que a expressão entre módulo, se anula para x = 3.
Teremos então dois casos a considerar:
1º caso: x < 3 Þ 3x - 9 < 0 Þ |3x - 9| = -(3x - 9) = - 3x + 9
Portanto, a inequação fica: -3x + 9 £ 2x
Teremos então de resolver a dupla desigualdade:  x < 3 e -3x + 9 £ 2x
Vem, x < 3 e 9 £ 5x Û x < 3 e 9 /5£ x Û 9 /5£ x < 3


Portanto, para o primeiro caso, teremos o conjunto solução parcial
S₁ = [9/5, 3)
2º caso: x ³ 3 Þ 3x - 9 ³ 0 Þ |3x - 9| = 3x - 9
Portanto, a inequação fica: 3x - 9 £ 2x
Teremos então de resolver a dupla desigualdade:  x ³ 3 e 3x - 9 £ 2x
Vem, x ³ 3 e - 9 £ - x Û 3 £ x e 9 ³ x Û 3 £ x e x £ 9 Û 3 £ x £ 9
Portanto, para o segundo caso, teremos o conjunto solução parcial
S₂ = [3, 9]
A solução geral da inequação proposta será então:
S = S₁ È S₂ = [9/5, 3) È [3, 9] = [9/5, 9].
S = [9/5, 9].
Graficamente, teríamos na reta real:


Agora, resolva esta:
|x - 3| + |x| + |x + 3| £ 9
Resposta: S = {x Î R; -3 £ x £ 3} = [-3, 3].