Questões resolvidas de função exponencial

Questões resolvidas de função exponencial

Lista de questões resolvidas de função exponencial.

1) (Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por  . Determine a população referente ao terceiro ano.

  A população referente ao 3º ano é de 19.875 habitantes.

2) (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 2^3r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

P(r) = k * 2^3r

98 304 = k * 2 ^3*5

98 304 = k * 215

98 304 = k * 32 768

k =98 304 / 32 768

k = 3

Calculando o número de habitantes num raio de  3 km

P (r) = k * 2^3r

P (3) = 3 * 2^3*3

P (3) = 3 * 29

P (3) = 3 * 512

P(3) = 1536

O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.

3) Se , então "x" vale:

   

   a)                         b)                       c)                    d)                       e) 

Resolução:

Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

 Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:

-As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "-1".

- Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

   Resposta certa letra "A".

4) A PARTIR DOS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES F(X)=2^X, G(X)=2^X+2 E H(X)=2^-X, DESCREVA O QUE OCORRE COM G=G(X) E H=H(X) EM RELAÇÃO A F=F(X).

RESOLUÇÃO:

O gráfico da função g(x)=2+2^x é obtido de f(x)=2^xtransladado verticalmente (no eixo y) por 2 unidades. O gráfico da função h(x)=(1/2)^x é uma linha simétrica em relação ao eixo dos y (como se estivesse espelhada) que corresponde à função a f.

5) (EU-PI) SUPONHA QUE, EM 2003, O PIB (PRODUTO INTERNO BRUTO) DE UM PAÍS SEJA DE 500 BILHÕES DE DÓLARES. SE O PIB CRESCER 3% AO ANO, DE FORMA CUMULATIVA, QUAL SERÁ O PIB DO PAÍS EM 2023, DADO EM BILHÕES DE DÓLARES? USE 1,03²⁰ = 1,80.

Resolução:

P(X) = P0 * (1 + I)^T

P(X) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(X) = 500 * 1,03²⁰

P(X) = 500 * 1,80

P(X) = 900

O PIB DO PAÍS NO ANO DE 2023 SERÁ IGUAL A R$ 900 BILHÕES. 

6)  Qual o domínio da função exponencial  y = 2^x ?

Resolução:

Sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja: 
D = R.

7) (IPA/IMEC) Se 2^x+2^-x=10 então 4^x+4^-x vale

    

a) 40                        b) 50                   c) 75                    d) 98                   e) 100

Resolução: 

Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

- Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

- Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:
 Resposta certa letra "D".


8) (ENEM-2009) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá

A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.

B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

RESOLUÇÃO:

Galera, vamos calcular quanto vai render cada um dos investimentos.

→ Investimento A: Rende  3% ao mês.

100% + 3% =103% = 1,03

Durante 12 meses teremos 1,0312 = 1,426 do valor inicial. (consulte a tabela)

→ Investimento B: Rende  36% ao ano.

100% + 36% =136% = 1,36

Durante 1 ano teremos 1,36 do valor inicial.

→ Investimento C: Rende  18% ao semestre.

100% + 18% =118% = 1,18

Durante 2 semestres teremos 1,182 = 1,3924 do valor inicial

Portanto, o investimento de maior rentabilidade no ano é o  Investimento A. 

Gabarito letra C.

9)  (Unicamp - 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que

a) M(t) = 2^4−t/75
b) M(t) = 2^4−t/50
c) M(t) = 2^5−t/50
d) M(t) = 2^5−t/150

Resolução

• Para o ponto (0,16), temos:

M(0) = 16 = 2⁴

• Para o ponto (150,4), temos:

M(150) = 4 = 2² = M(0).2^k = 2⁴.2^k = 2^{4 + k} = 2^{4 - 2} = 2^{4 - 150/75} 

M(t) = 2^{4 - t/75}

10) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Resolução:

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 ^–0,2*10
12 000 = v0 * 2 ^–2
12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

11) (UFCE ) Se f ( x ) = 16^(1+1/x), então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :

a. 11
b. 13
c. 15
d. 17
e. nda

Resolução:

Outra questão simples .. basta calcular a função substituindo o x ....

f(-1) = 16^(1+1/-1)
f(-1) = 16^(1 - 1)
f(-1) = 16^0
f(-1) = 1 ...

f(-2) = 16^(1- 1/2)
f(-2) = 16^1/2 ....SEMPRE se lembre que denominador de expoente é raiz ... logo denominador 2 é raiz quadrada:
f(-2) = V16
f(-2) = 4 ...

f(-4) = 16^(1- 1/4)
f(-4) = 16^(3/4) 
f(-4) = ∜16³
f(-4) = 2³
f(-4) = 8 .... assim a soma vale

1 + 4 + 8 = 13 ...

Alternativa b.

12) Identifique o intervalo cujos valores de k tornam a função exponencial ,

f(x) = (5k – 1)^x decrescente.

A) 1/5 < k < 2/5

B) 0 < k < 1/5

C) k < 2/5

D) k > 1/5

E) k < 1

Resolução:

Para identificar o intervalo, devemos lembrar da seguinte propriedade da função exponencial:

Na função exponencial, cuja lei dada por f(x) = a^x se 0 < a < 1, então a função é decrescente.

Veja, na lei de formação da função, a é a base da potência e deve estar entre 0 e 1 exclusivos.

Portanto, para que a função f do enunciado, dada pela lei f(x) = (5k – 1)^x seja decrescente, devemos ter

0 < 5k – 1 < 1.

Resolvendo:

0 < 5k – 1, então 1 < 5k, logo 1/5 < k.

5k – 1 < 1, então 5k < 2, logo k < 2/5.

Logo, para que a função seja decrescente devemos ter 1/5 < k < 2/5.

13) Determinar o conjunto solução da equação 3^x-3^4-x=24.

Resolução:

           Como 3^4-x=3⁴.3^-x=81/3^x, obtemos 3^x-81/3^x=24

Com a mudança de variável 3^x=y, obteremos y-81/y=24

Multiplicando ambos os membros desta equação por y, obtemos a equação do segundo grau: y²-24y-81=0

Usando a fórmula quadrática, obtemos duas raízes reais

dadas por y₁=27 e y₂=-3 e como esta equação possui duas raizes reais, temos dois casos a considerar:

Caso 1: Se y₁=27 então 3^x=27=3³, portanto x=3.

Caso 2: Se y₂=-3 então 3^x=-3. Como f(x)=3^x é sempre positiva, esta função não pode assumir um valor negativo. Assim S={x em R: x=3}

14) (FUVEST-2013) Seja f(x) = a + 2^bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta  ]-1,  [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1,0) e (0,-3/4). Então o produto abc vale:

a) 4                b) 2              c) 0              d) -2                e) -4

Vamos desenhar o gráfico desta função:

Vamos analisar uma parte da função f(x). Iremos chamar a parte 2bx+ c de g(x).

A função g(x) = 2bx+ c tem a seguinte imagem:

Im g(x) = ]0, + ∞[ , para todo x pertencente aos reais.

Mas a função f(x) tem uma constante “a” somada com a função g(x). E a questão nos informa que o intervalo neste caso é:

Im f(x) = ]-1, + ∞[

A soma de uma constante numa função exponencial faz com que ela se desloque sobre o eixo y (conjunto-imagem) e mude o valor do intervalo aberto à esquerda que será exatamente o da constante.

Na função f(x) temos a constante “a” e o valor do intervalo aberto à esquerda é -1. Portanto, a = -1.

Já temos o valor de “a”. Precisamos agora do valor de b e c.

A questão nos informa também que a função f(x) passa pelos pontos (1,0) e (0,-3/4).

Vamos ver o ponto (1,0):

Neste caso, temos x = 1 e y = f(1) = 0.

Logo,

f(x) = a+ 2bx+ c

f(1) = -1+ 2bx+ c

0 = -1 + 2b1+ c

-1 + 2b1+ c = 0

2b+ c = 20

b + c = 0

b = -c

Agora veremos o ponto (0,-3/4):

Neste caso, temos x = 0 e y = f(0) = -3/4.

Logo,

f(x) = a+ 2bx+ c

f(0) = -1+ 2bx+ c

-3/4 = -1 + 2b0+ c

1 – 3/4 = 2c

1/4= 2c

2c = 1/4

2c = 2-2

c = -2

Mas b = -c. Logo, b = 2

Portanto, a = -1, b = 2 e c =-2

Logo, a.b.c = (-1).2.(-2) = 4

a.b.c = 4

ALTERNATIVA A

Guia para prova de geometria

                                                                                                                                     

1. Qual a medida do lado de um octógono regular queQuestão 1

possui 36,4 cm de perímetro?

a) 4,55 cm

2.2.

 (FTD)Para esvaziar um reservatório que está com 30000L de agua, será utilizada uma bomba com capacidade para retirar 2000L de água por hora. Escreva uma função que permita calcular a quantidade de água q no reservatório em função do tempo t de funcionamento da bomba.

 3

(FTD)No octógono regular está indicada a medida de um de seus lados igual a x.

a)      Escreva uma função afim que represente o
perímetro desse octógono em função da medida
de seu lado.

b)      Calcule a medida do perímetro desse octógono
sabendo que cada um de seus  lados mede 4 cm.

Questão 4

(FTD)Os lados de um retângulo estão representados pelas expressões

 (-x +5) e . Qual deve ser o valor de x para que a área desse retângulo seja máxima? Qual é o valor dessa área?

A área será máxima no ponto de máximo da função.

Questão 5

Determine o perímetro da figura da questão  para x=2cm

7 x+3

2x+1

6.

(FTD)Para esvaziar um reservatório que está com 30000L de agua, será utilizada uma bomba com capacidade para retirar 2000L de água por hora.Após escrever a função que permite calcular a quantidade de água no reservatório em função do tempo t de funcionamento da bomba. Após 5 h de funcionamento da bomba, quantos litros de água ainda restarão no reservatório?

7.(M090047CE) Pedro cercou um terreno quadrado de lado igual a 90 metros. Quantos metros de muro Pedro construiu para cercar todo esse terreno? 

A)   90         B) 180         C) 360           D) 810 

Sabendo que as figuras apresentadas são quadrados, complete o quadro e resolva as questões.

a ) Escreva uma fórmula que permita calcular o perímetro P de um quadrado cujo lado mede x cm.

.8. Para saber os pares ordenados que formam uma figura geométrica plana, você precisa localizar a figura no plano cartesiano e marcar os pontos dos seus vértices.



9. I.A representação de pontos neste plano é feita através de pares ordenados, onde o primeiro número se refere àabscissa e o segundo a ordenada.

II. O ponto P₁(3, 2) tem abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3, 2) representa um par ordenado. O pontoP₂(2, 3) tem abscissa 2 e ordenada 3. É importante frisarmos que os pontos P₁ e P₂ são pontos distintos, pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.

III. Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.

É correto afirmar que

a) apenas II é verdadeira.

b) apenas III é verdadeira.

c) apenas I e II são verdadeiras.

d) apenas I e III são verdadeiras.

e) I, II e III são verdadeiras.

Letra e

Questão 5

Marque a alternativa falsa.

Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro e área medem, respectivamente, 50 cm e 150 cm²?
a) Se o perímetro é igual a 50, então o semiperímetro (soma das medidas das dimensões do retângulo) é igual a 25.

b) Representação algébrica das dimensões do retângulo:
largura: x
comprimento: 25 – x.

C) Visualizando o retângulo (opcional).

Xd) Utilizando o outro dado do problema (área igual a 150), e lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, podemos afirmar que:
x(25 – x) = 250

e) Analisando as raízes obtidas, podemos concluir que as dimensões do retângulo são 10 e 15 cm.

Questão 6

(FTD)No hexágono  regular está indicada a medida de um de seus lados.

  x

 




a) Escreva uma função afim que represente o
perímetro desse octógono em função da medida
de seu lado.:y=6x




ex.

Reproduza a figura no plano cartesiano. Escreva os pares ordenados de cada ponto.

 O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?

Chamemos de v o volume da chuva hoje.

Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:

O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

(FTD)Para esvaziar um reservatório que está com 30000L de agua, será utilizada uma bomba com capacidade para retirar 2000L de água por hora.

Escreva uma função que permita calcular a quantidade de água q no reservatório em função do tempo t de funcionamento da bomba.

a) f(x)=3000-2000x

b) f(x)=50000-2000x

c) f(x)=30000-200x

d) fx)=30000-2000x

letra d