1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas
distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas
diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma
sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
90 100 110 130 120
Solução. Cada item do cardápio pode ser combinado com as
quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades
são: 2 x 4 x 5 x 3 = 120 possibilidades.
2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
60 120 240 40 80
Solução. Números com três algarismos distintos quer dizer que
uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ela não poderá mais aparecer.
No caso há seis algarismos a serem utilizados. As possibilidades são começando
das centenas. (poderia iniciar das unidades ou dezenas)
Centenas simples
|
Dezenas simples
|
Unidades simples
|
6 possibilidades
|
5 possibilidades
|
4 possibilidades
|
1ª escolha
|
2ª escolha (um alg já foi usado)
|
3ª escolha (dois alg já foram usados)
|
Logo há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.
3. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2
pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma
paletó e um par de sapatos ?
52 86 24 32 48
Solução. Cada item do vestuário pode ser combinado com as
quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades
são: 2 x 4 x 6 = 48 possibilidades.
4. No sistema de emplacamento de veículos que seria
implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso
alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de
prefixos, usando-se somente vogais, seria:
20 60 120 125 243
Solução. As vogais podem ser
repetidas de forma que as possibilidades podem ser: 5 x 5 x 5 = 125.
5. Os números dos telefones da Região Metropolitana de
Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de
telefones que podem ser instalados é:
1 000
000 2 000 000 3 000 000 6 000 000 7 000 000
Solução. A única restrição é que o 1º dígito a esquerda do
formado por 7 algarismos seja fixo 2. Como há 10 algarismos de 0 a 9 e podem
ser repetidos temos as possibilidades:
2 (fixo)
|
0 a 9
|
0 a 9
|
0 a 9
|
0 a 9
|
0 a 9
|
0 a 9
|
1 possib.
|
10 possib.
|
10 possib.
|
10 possib.
|
10 possib.
|
10 possib.
|
10 possib.
|
Logo,
há 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000.
6. Quantos números distintos entre si e menores de 30
000 tem exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2,
3, 4, 5, 6} ?
90 120 180 240 300
Solução. Se os números são menores que 30000, então com os
algarismos envolvidos a dezena de milhar não pode ser 3, 4 ou 5 pois os demais
formariam um número maior que o limite informado. A dezena de milhar será,
então 1 ou 2.
1ª escolha
|
2ª escolha
|
3ª escolha
|
4ª escolha
|
5ª escolha
|
2 possib.
|
5 possib.
|
4 possib.
|
3 possib.
|
2 possib.
|
Logo as possibilidades são: 2
x 5 x 4 x 3 x 2 = 240.
7. Quantos são os números inteiros positivos de 5
algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais ?
59 9.84 8. 94 85
95
Solução. Esse caso não exige que todos os algarismos sejam
diferentes e sim, que os adjacentes o sejam. Isto é. Um algarismo utilizado na
ordem das unidades poderá ser utilizado nas centenas, mas não nas dezenas ou
unidades de milhar. Os algarismos vão de 0 a 9.
1ª escolha
|
2ª escolha
|
3ª escolha
|
4ª escolha
|
5ª escolha
|
9 possib.
|
9 possib.
|
9possib.
|
9 possib.
|
9 possib.
|
Não inicia por 0
|
Diferente da 1ª
|
Diferente da 2ª
|
Diferente da 3ª
|
Diferente da 4ª
|
Logo as possibilidades são: 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 95.
8. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1
000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }?
15 23 28 39 42
Solução. Não foi especificado quantos algarismos deve ter o
número. Logo, devemos calcular para os casos de 1, 2 ou 3 algarismo. Nenhum
número de 4 algarismo será formado.
a) 1 algarismo: números 1, 2 ou 3. Logo três possibilidades.
b) 2 algarismos: 3 possibilidades para as dezenas e 3 nas
unidades. Logo 3 x 3 = 9 possibilidades.
c) 3 algarismos: 3 possibilidades para as centenas, 3 para as
dezenas e 3 para as unidades: 3 x 3 x 3 = 27
Logo o total de números menores que 1000 é: 27 + 9 + 3 = 39
casos.
9. A quantidade de números inteiros compreendidos
entre os números 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1.
3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:
48 54 60 72 144
Solução. Essa situação deverá ser dividida em duas situações:
a) O maior número com esses algarismos menor que 4500 é 43751.
Com 4 na dezena de milhar:
4 (fixo)
|
2ª escolha
|
3ª escolha
|
4ª escolha
|
1 possib.
|
2 possib.
|
3 possib.
|
2 possib.
|
b) Com 1 ou 3 nas dezena de milhar:
1ª escolha
|
2ª escolha
|
3ª escolha
|
4ª escolha
|
2 possib.
|
4 possib.
|
3 possib.
|
2 possib.
|
Logo, há (1 x 2 x 3 x 2) + (2 x 4 x 3 x 2) = 12 + 48 = 60
possibilidades.
10. Quantos números de pares, distintos, de quatro
algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir ?
156 60 6 12 216
Solução. Um número é par se o algarismo das unidades simples
for 0, 2, 4, 6 ou 8. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 0, 2 ou
4. Outra restrição é o fato de que a unidade de milhar não pode ser 0.
Dividindo em duas situações, temos:
a) A unidade simples é 0.
4ª escolha
|
3ª escolha
|
2ª escolha
|
1ª escolha - 0
|
2 possib.
|
3 possib.
|
4 possib.
|
1 possib.
|
b) A unidade simples é 2 ou 4. A unidade de milhar não será 0.
2ª escolha
|
3ª escolha
|
4ª escolha
|
1ª escolha
|
3 possib.
|
3 possib.
|
2 possib.
|
2 possib.
|
Logo, há (2 x 3 x 4 x 1) + (3 x 3 x 2 x 2) = 24 + 36 = 60
possibilidades.
11. Sendo A = { 2, 3, 5, 6, 9, 13 } e B = {ab
/ a Î A, b Î A, a ≠ b}, o
número de elementos de B que são pares é:
5 8 10 12 13
Solução. Lembrando que o produto entre números ímpares é ímpar
e entre números pares é par, a situação será dividida em duas: com a = 2 e a =
6, pois só nesses casos as potências serão pares independente do expoente.
a) a = 2: O conjunto {23, 25, 26,
29, 213} possui 5 elementos. Repare que não pertence 22.
b) a =6: O conjunto {62, 63, 65,
69, 613} possui 5 elementos. Repare que não pertence 66.
Logo, há 5 + 5 = 10 possibilidades.
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1.Com as letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6!=720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário , a 250° palavra será ?
Resposta:
As primeiras palavras começaram com E (na ordem alfabética).
Multiplicando as possibilidades serão 5! = 120 palavras começadas com E
As próximas palavras começarão com F. Também serão 120 palavras. (Já deu 240)
As próximas 10 palavras começarão com S. Precisamos encontrar a décima delas, que será a 250ª do dicionário de anagramas da palavra FUVEST.
São elas:
S...
S...
S...
S...
S...
S...
S...
S...
S...
S...
Se colocarmos o E na frente do S teremos então 4! = 24 palavras possíveis (pois teremos que organizar quatro letras na frente do SE)
Logo:
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
SE...
A próxima letra na ordem alfabética é a F. Se colocarmos o F na frente de SE, teremos 3! = 6 palavras possíveis (pois precisaremos organizar as outras três letras UVT). Preencheremos o restante com a próxima letra do alfabeto (T)
Logo:
SEF...
SEF...
SEF...
SEF...
SEF...
SEF...
SET...
SET...
SET...
SET...
Nesse caso, teremos dois grupos de palavras. as que terminam em F e as que terminam em T.
Para achar a 250ª palavra desse dicionário complicado, é interessante encontrar apenas o segundo grupo de palavras (as que tem o T como terceira letra)
Nessas palavras, organizaremos as letras restantes: FUV.
A primeira letra será F. Se colocarmos F na frente de cada palavra teremos duas palavras possíveis (organizando as outras duas letras). Portanto só poderemos colocar dois "F's":
SETF...
SETF...
SET...
SET...
As outras duas palavras terão a letra U como terceira letra (que é a próxima letra do alfabeto):
SETF...
SETF...
SETU...
SETU...
Nesse caso sabemos que a 250ª letra desse alfabeto começa com SETU...
Só há duas possibilidades:
SETUFV
SETUVF
Na ordem alfabética, a última delas é SETUVF.
Resposta: A 250ª desse dicionário é SETUVF.
2.O total de matrizes distintas que possuem apenas os
números 1, 2, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem
repetição, é igual a:
a) (4!)4
b) 16 . 4!
c) 5 . 16!
d) (16!)5
e) 1616
Resolução:
Usando todos os números de 1 a 16, conseguimos montar os
seguintes tipos de matrizes:
— 1 linha e 16 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 2 linhas e 8 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 4 linhas e 4 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 8 linhas e 2 colunas Þ 16! matrizes distintas
— 16 linhas e 1 coluna Þ 16! matrizes distintas
Portanto, podem ser formadas 5 . 16! matrizes distintas.
Alternativa C
3.Certo dia, Nair, Raul e seus quatro fi lhos foram jantar em um restaurante e lhes foi reservada uma mesa de
formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na fi gura abaixo.
Tendo em vista que as cadeiras eram fixadas no solo e considerando que Raul e Nair sentaram-se apenas nas
cabeceiras da mesa, de quantos modos toda a família pode ter se acomodado nas cadeiras para desfrutar do
jantar?
A) 720
B) 360
C) 180
D) 150
E) 72
Do enunciado, temos as seguintes possibilidades para a escolha dos lugares nos quais as seis pessoas podem
se sentar:
Pessoa Possibilidades
Nair 2
Raul 1
Filho 1 6
Filho 2 5
Filho 3 4
Filho 4 3
Dessa forma, pelo princípio fundamental de contagem, o número de modos como toda a família pode ser
acomodada nas cadeiras é dado por:
2 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 720
4.Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?
Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas
as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases
resultantes são sem significado, como já era de se esperar.
Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o
número de permutações calculando P5. Temos então:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
5.Na fila do caixa de uma padaria
estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta
fila?
Temos que calcular P3, então:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
6.Em uma escola está sendo
realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando.
Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e
returno?
Como
o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então
estamos trabalhando com arranjos
simples onde importa a ordem
dos elementos. Devemos calcularA10, 2:
Então:
Podem ser realizados 90 jogos
entre os times participantes.
7.Otávio, João, Mário, Luís,
Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis
para os três primeiros colocados?
Obviamente,
como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos
agrupamentos. Como temos7 corredores e queremos saber o número
de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A7, 3:
Logo:
210 são os agrupamentos
possíveis para os três primeiros colocados.
8.Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas
vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico
translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as
outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna
de bolas?
Neste
caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas
de quatro cores diferentes. Segundoa repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):
Então:
Eu poderei formar esta coluna de
bolas de 12600 maneiras diferentes.
9.Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da
palavra PARAR?
Como
a palavra PARAR possui 5 letras,
mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos
calcular P5(2, 2):
Portanto:
O número de anagramas que
podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.
10.Quantos são os anagramas que
podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS,
sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?
Como na primeira posição sempre
teremos a letra E, o número de possibilidades nesta
posição é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P1.
Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no começo, então
para a oitava letra temos que calcular P2:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Como para as demais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P6:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Multiplicando tudo:
1 . 720 . 2 = 1440
11.Cinco pessoas estão
preparando-se para viajar em um carro que comporta exatamente cinco
passageiros,
incluindo o
motorista. Se dentre as cinco pessoas que viajarão apenas três podem dirigir o
carro, determine o
número de
possibilidades da distribuição das pessoas nos bancos do carro.
3.4.3.2.1
Não concordo com a resolução da questão permutação simples, observe que a letra E já obtém posição fixa e obtém a sua ordem,se atentando para regra que se somente se será somado para permutação se não houvesse pelo menos a posição fixa.
ResponderExcluirO que o mesmo descartou o I e o A ,pois um dos dois será o último,até aí tudo bem;
Resultando 8 - 2 = 6 e por que o Avaliador não descartou o E ?
Pois a permutação seguiria na seguinte forma: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120
o que 120 x 2 = 240. POR FAVOR DISPONHA SE EU ESTIVER ERRADO!!!