PA-Progressão aritmética e PG Progressão geometrica

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13^o termo:

  a₁₃ = 5 + (13 - 1).11
        a₁₃ = 5 + (12).11
        a₁₃ = 5 + 132
        a₁₃ = 137

2) Dados a₅ = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

  a₁₃ = 5 + (13 - 1).11
        a₁₃ = 5 + (12).11
        a₁₃ = 5 + 132
        a₁₃ = 137

3)(UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

        (A) 8^a
        (B) 7^a
        (C) 6^a
        (D) 5^a
        (E) 4^a

- informações do problema:
        a₁ = 23      r = -6      a_n = -13      n=?

        - Substituindo na fórmula do termo geral:
        a_n  = a₁ + (n-1)r
        -13 = 23 + (n - 1).(-6)
        -13 - 23 = -6n + 6
        -36 - 6 = -6n
        -42 = -6n      Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
        6n = 42
        n = 42/6
        n = 7            Resposta certa letra "B

4)(UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

        (A) 1/2
        (B) 2/3
        (C) 3
        (D) 1/2
        (E) 2

a₁= 2x
          a₂= x+1
          a₃= 3x

        - Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

a2 = a1 + r	isolando "r"	r = a2 - a1
a3 = a2 + r	isolando "r"	r = a3 - a2

        - Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:

a₂ - a_{1 =} a₃ - a₂

        - Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

        (x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
        x + 1 - 2x = 3x - x - 1
        x - 2x - 3x + x= -1 - 1
        -3x = -2             Multiplicando ambos os lados por (-1)
        3x = 2
        x = 2/3             Resposta certa letra "B"

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). 

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,

1. A
    
   0 e 9. 
2. B
    
   1 e 4.
3. C
    
   1 e 7.
4. D
    
   9 e 1.
5. E
    
   0 e 1.

---

resolução

O primeiro dígito verificador é calculado através da subtração de 11 pelo resto da divisão da soma do produto de cada número por 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2 pelos dígitos do CPF, respectivamente, por 11. Caso o resto desta divisão seja 0 ou 1, o dígito verificador vale 0. Como 1 x 10 + 2 x 9 + 3 x 8 + 4 x 7 + 5 x 6 + 6 x 5 + 7 x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 = 210 e 210 dividido por 11 deixa resto 1, o primeiro dígito verificador é 0. A mesma regra é aplicada ao dígito verificador 2, porém os números a serem multiplicados começam a partir do segundo algarismo e o último algarismo é o d1, já encontrado. Como 2 x 10 + 3 x 9 + 4 x 8 + 5 x 7 + 6 x 6 + 7 x 5 + + 8 x 4 + 9 x 3 + 0 x 2 = 244 e 244 deixa resto 2 na divisão por 11, d2 = 11 – 2 = 9.

RESPOSTA CORRETA:

A

0 e 9.
_________________________________________________________________________________

.(Enem-10) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras,  empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9         b) 45      c) 64       d) 81      e) 285

CAIU NO ENEM

ENEM 2009 - Questão 156 – Prova Azul.
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,
a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7. d) 9 e 1. e) 0 e 1.
RESOLUÇÃO:
CPF: 23.456.789 – d1 d2
→ d1= 1x10 + 2x9 + 3x8 + 4x7 + 5x6 + 6x5 + 7x4 + 8x3 + 9x2
10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 = 210
210 : 11 = 19. Como o resto r=1, então d1 = 0

→ d2= 2x10 + 3x9 + 4x8 + 5x7 + 6x6 + 7x5 + 8x4 + 9x3 + 0x2
20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0 = 244
244 : 11 = 22. Como o resto s=2, então d2 = 11-2=9
Portanto, gabarito é letra A.

Héron ou Herão de Alexandria

nventor, matemático, físico e escritor grego, possivelmente nascido em Alexandria, no Egito, que realizou excelentes trabalhos em Física, Mecânica e Geometria, sendo-lhe creditada por alguns autores, a fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecidos seus três lados, e citado como inventor da primeira máquina a vapor de que se tem notícia, além de dispositivos que moviam água, um deles conhecido como a fonte de Heron. Foi essencialmente um autor de muitos livros de física e matemática, especialmente na geometria, da antiga Grécia. São conhecidas 18 obras com sua assinatura, podendo ser também considerado um matemático em função da autoria da fórmula de Heron para cálculo da área de um triângulo, demonstrada em A Métrica, obra encontrada (1896). Foi um engenheiro, seguidor das idéias de Ctesibius, estudou a pressão do ar e o vapor, e também desenvolveu vários instrumentos por medir distâncias em linha reta e caminhos. Outra obra matemática importante de sua autoria foi Geométrica (75 d. C.), onde ele demonstrou sua limitada competência na trigonometria, mas apresentou uma fórmula para determinação da área de figuras geométricas regulares de 3 a 12 lados, círculos e seus segmentos, elipses e segmentos parabólicos, além de superfícies de cilindros, cones, esferas e segmentos de esferas. Sua preferência matemática, de forte influência babilônica, era pelos exemplos de mensuração. Trabalhou com um algoritmo para extração de raízes quadradas e cúbicas, já usado pelos babilônios a mais de 2000 anos antes dele, e desenvolveu fórmulas para o cálculo do volume de diversos sólidos, como cones, pirâmides, cilindros, paralelepípedos, prismas, troncos de cones e pirâmides, esferas e segmentos esféricos, anéis cilíndricos e alguns prismatóides. Escreveu sobre mecânica, onde são conhecidos 13 trabalhos, entre eles Máquinas de guerra e Mecânica, onde trata de diversas máquinas simples e do movimento circular. Em Pneumatica descreveu os princípios de funcionamento de sua máquina a vapor. Em Catoptrica escreveu sobre óptica, onde demonstrou os fundamentos da propagação retilínea da luz e a lei da reflexão. Em Dioptra, nome de um aparelho de utilidade análoga à dos modernos teodolitos, escreveu sobre astronomia e geodésia. Na história da hidráulica é lembrado como inventor de pequenos engenhos mecânicos baseados nas propriedades dos fluidos e em leis das máquinas simples, entre eles, o sifão, um tipo primitivo de uma máquina a vapor e instrumentos precursores do termômetro e do termoscópio. Também figuram como outras notáveis invenções suas um extintor de incêndio e uma calculadora. Morreu em algum lugar da Grécia e alguns historiadores lhe atribuem uma parceria na invenção da bomba de êmbolo devido a um de seus escritos, porém provavelmente foi só um aperfeiçoamento da invenção de Ctesibius. Suas máquinas de propulsão ilustram o princípio científico da terceira lei de Newton (1687).

Atividade:

Dado: n=a.b

Raiz quadrada de n= (a+b)/2

Exemplo: raiz quadrada de 30= raiz quadrada de 5.6= (5+6)/2=11/2=5,5

Agora é sua vez
Resolva:

1.Raiz quadrada de:

a)30=

b)20=

c)35=

d)72=

e)120=