Sequência de Fibonacci

Em matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente (numero de Fibonacci) corresponde a soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci (contração do italiano filius Bonacci), que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta.² Tal sequência já era no entanto, conhecida na antiguidade.
Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência (sequência A000045 na OEIS):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … (podendo ser omitido o zero inicial).^{nota 1}

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F₁= 1:

e valores inicias

^{nota 2 nota 3}

A sequência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste,³ no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi,⁴ ou no desenrolar da samambaia.⁵

No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci,⁶ embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.^{7 8 9} Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

Ilustração representativa da série de Fibonacci, demonstrando o crescimento populacinals de coelhos (carregando ovos de páscoa).

• no primeiro mês nasce apenas um casal,
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
• não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
• os coelhos nunca morrem.

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:

Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.

• F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
• F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
• F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
• F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
• F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1

e a primeira posição 1.
Note que a sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...