Raciocínio Lógico

RACIOCÍNIO LÓGICO

CAPÍTULO 1

CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO

raciocínio lógico re

Exercícios:

01- Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual é a razão do número de questões certas para o de erradas?

02- Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é 42.

03- Num concurso vestibular, para um determinado curso, havia 40 vagas.  O número de candidatos por vaga foi de 25 para 1. O número de candidatos que não conseguiram ocupar essas vagas está na alternativa:

a) 960                    b) 1000                  c) 500

d) 460                    e) 920

04- A capacidade de um elevador é de 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças podem ainda entrar?

05- Sabendo que a está para b assim como 8 está para 5 e que , calcular a e b.

06- Dois números positivos estão entre si assim como 3 está para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados é igual a 100.

07- Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades.

08- Um desenho representa um edifício de 14 metros de altura, ao lado de uma árvore. Se o desenho do edifício mede 4cm e o da árvore, 3cm, podemos concluir que a altura da árvore é

a) 10m                  b) 12m                  c) 10,5m               d) 11,2m

09- Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do segundo resulta igual a 100.

10- Se uma torneira enche um reservatório de água com uma capacidade de cinco mil e quatrocentos litros à razão de 15 litros por minuto, quanto durará para encher completamente o reservatório?

a) Quatro horas   b) Quatro horas e meia

c) Cinco horas     d) Cinco horas e meia

e) Seis horas

11- Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja capacidade é de 2 000 litros, estava cheio de água; entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a água por ele escoasse a uma vazão constante. Se às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com apenas 1.760 litros, então a água em seu interior se reduziu à metade às

a)  21 horas do mesmo dia.              b)  23 horas do mesmo dia.

c)  4 horas do dia seguinte.               d)  8 horas do dia seguinte.

e)  9 horas do dia seguinte.

12- O orgulho de um colecionador de carros é seu velho fusca que apresenta desempenho de 10km rodados por cada litro de gasolina, embora já tenha sofrido alguns “reparos” no tanque de combustível. Como esse colecionador irá participar de uma feira de carros em outra cidade com seu fusca, vai até um posto de combustível e abastece o carro com exatamente 30,6 litros de gasolina. Mas, no momento em que o colecionador inicia a viagem, aparece um vazamento no tanque por onde escoa 0,1 litro de gasolina por hora. Sabendo-se que o colecionador pretende desenvolver uma velocidade constante de 50km/h durante a viagem, a distância máxima que o fusca irá percorrer, até esgotar toda a gasolina do tanque, será de

a) 300km              b) 240 km             c) 306km              d) 280km

13- Uma determinada substância é composta de ouro e prata, na proporção de cinco partes de prata para cada uma de ouro. Para fabricar 54 gramas dessa substância, quantas gramas de ouro e de prata serão necessárias?

14- Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$450,00 a mais que a outra. Descubra qual é a comissão de cada uma, sabendo que elas estão na razão .

15- Os salários de João e André estão entre si, assim como 7 está para 8. Calcular esses salários, sabendo que o triplo do salário de João menos o dobro do de André é de R$ 5.000,00.

16- Para usar certo tipo de tinta concentrada é necessário diluí-la em água na por porção de  (proporção de tinta concentrada para água). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta serão obtidos após a diluição na por porção recomendada?

17- Um negociante pouco escrupuloso compra 450 litros de vinho a R$18,00 o litro e mistura um litro de água a cada 9 litros de vinho. Se o negociante pretende obter R$1.500,00 de lucro após a venda de toda a mistura, o preço de venda de cada litro dessa mistura, em reais, deverá ser:

a) 22,00      b) 21,30           c) 19,80        d) 20,10         e) 19,20

18- Um café é preparado e, logo depois, é servido em quatro xícaras, nas quais é colocado o mesmo tipo de açúcar. A primeira xícara recebe 50 ml de café e 2g de açúcar; a segunda, 72 ml de café e 3g de açúcar; a terceira, 92 ml de café e 4g de açúcar; a quarta, 123 ml de café e 5g de açúcar. O café se apresentará mais doce na:

a) Primeira xícara               b) Segunda xícara

c) Terceira xícara                               d) Quarta xícara

01- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

a) 2                              b) 4                             c) 24                            d) 48                           e) 120

02- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a

a) 30/200                    b) 130/200                  c) 150/200                  d) 160/200                  e) 190/200

03- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:

a) 1                              b) 2                              c) 3                              d) 4                              e) 5

04- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,

a) D ocorre e B não ocorre                                          d) nem B nem D ocorrem

b) D não ocorre ou A não ocorre                                  e) B não ocorre ou A não ocorre

c) B e A ocorrem

05- Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Gringles é:

a) Necessariamente verdadeira.                                  d) Falsa, mas não necessariamente

b) Verdadeira, mas não necessariamente.                    e) Indeterminada

c) Necessariamente falsa.

06- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista

b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro

c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista

d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista

e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

07- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei:

a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada

b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada

c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada

d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa

e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

08- Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.

b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.

c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.

d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.

e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

09- Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a:

a) 1/3                  b) 3                          c) 9                             d) 27                            e) 81

10- Todos  os  alunos  de  matemática  são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a)   pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.

b)  pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.

c)   nenhum aluno de português é aluno de matemática.

d)  todos os alunos de informática são alunos de matemática.

e)   todos os alunos de informática são alunos de português.

GABARITO: 1)D     2)D        3)E                 4)C       5)A      6)A      7)B      8)C      9)       10)C

SIMULADO FINAL DE RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – PARTE 02

01- Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8                             b) 28                           c) 40                           d) 60                           e) 84

02- Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:

a) 15%                          b) 20%                         c) 25%                         d) 30%                        e) 35%

03- Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A                       b) A / B                       c) A / C                       d) B / C                        e) - (B/B)

04- Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que:

a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;

b) marido e esposa não jogam entre si.

Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:

a) Celina e Alberto                              d) Ana e Alberto

b) Ana e Carlos                                               e) Celina e Gustavo

c) Júlia e Gustavo

05- Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.

d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.

e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

06- Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei – que era um pouco surdo – não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: “Cebelim é inocente”.

Cebelim: “Dedelim é inocente”.

Dedelim: “Ebelim é culpado”.

Ebelim: “Abelim é culpado”.

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelim                     b) Bebelim                   c) Cebelim                   d) Dedelim                   e) Ebelim

07- Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.

c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

08- Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.  

0          0 3/7  -29/4

3/5   -7/8 4/7   25/4

1          0  0      1

                                              

09- Sejam as matrizes     A =                     ,      B =                      e,     C =

e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é:

a) -7/8                        b) 2                             c) 4/7                          d) 1                              e) 0

10- Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.

A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.

A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha.                   d) A morena é Bete e vai à Espanha

b) A ruiva é Sara e vai à França.                     e) A loura é Elza e vai à Alemanha

c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.

GABARITO: 1)B     2)B        3)A        4)A        5)B        6)C        7)A        8)E        9)E        10)E

SIMULADO FINAL DE RACIOCÍNIO LÓGICO – PARTE 03

01- Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de:

a) 60 minutos               b) 50 minutos              c) 80 minutos               d) 90 minutos              e) 120 minutos

02- Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.                 d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.                  e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

03- Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em número de anos)  tais que a soma de quaisquer duas delas é igual ao número obtido invertendo-se  os algarismos que formam a terceira. Sabe-se, ainda, que a idade de cada uma delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1; e indicando o algarismo da dezena das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A2, B2 e C2, a soma das idades destas três pessoas é igual a:

a) 3 (A2+B2+C2)          b) 10 (A2+B2+C2)         c) 99 – (A1+B1+C1)       d) 11 (B2+B1)                e) 3 (A1+B1+C1)

04- Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,

a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.                           d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.

b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.   e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.

c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.

05- Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:

a) 50                           b) 10                            c) 20                           d) 40                           e) 70

06- Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) R$ 220,00               b) R$ 204,00               c) R$ 196,00                d) R$ 188,00               e) R$ 180,00

07- Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:

1) Se Homero é culpado, então João é culpado.                      

2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.           

3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:

a) Homero, João e Adolfo são inocentes.                          d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.

b) Homero, João e Adolfo são culpados.                            e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.

08- Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das duas crianças). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:

a) 15%                         b) 20%                        c) 25%                         d) 30%                        e) 40%

09- Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,

a) não durmo, estou furioso e não bebo                       d) durmo, não estou furioso e não bebo          

b) durmo, estou furioso e não bebo                             e) não durmo, não estou furioso e bebo

c) não durmo, estou furioso e bebo

10- Ana está em férias com seus sobrinhos e para evitar problemas ela guardou uma garrafa cheia de licor trancada a chave no seu armário. Um de seus sobrinhos conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu a chave para um outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana percebeu, já havia menos de 1% de licor na garrafa. Assim, o número mínimo de vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por:

a) 4                             b) 5                             c) 7                             d) 10                            e) 15

GABARITO:          1)A       2)A        3)D        4)B        5)E        6)D        7)E        8)D        9)D        10)C

RACIOCINIO LOGICO

PROFESSOR Josimar Padilha

86- Considerando que, em certo ano, o dia 23 de junho ocorreu em um sábado, o dia 22 de outubro desse mesmo ano ocorreu em

(A) uma segunda-feira 

(B) uma terça-feira

(C) uma quinta-feira

(D) um sábado

(E) um domingo

Comentário:

Primeiramente determinar a quantidade de dias entre as datas:

23/06à 22/10 (121 dias)

Calculando as semanas: 121/ 7 = 17 semanas e sobram 2 dias.

17 semanas de sábado a sábado e sobram mais dois dias, que serão domingo e segunda.

Sendo assim, o dia 22/10 será uma segunda-feira.

87- Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.

A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem de métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo A e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente, então n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), onde n(A U B) é o número de elementos que pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine o número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar o esconderijo.

a) 33

b) 12

c) 45

d) 41

e) 4

Comentário:

Sendo o intervalo de 1 a 100 temos que n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), logo

n(múltiplos 3   múltiplos 8) = n(múltiplos 3) + n(múltiplos 8) – n(múltiplos 3 ∩ múltiplos 8)

Múltiplos 3 =  33 múltiplos

Múltiplos 8 =  12 múltiplos

Múltiplos de 3 e 8 =  4 múltiplos

n(múltiplos 3   múltiplos 8) = 33 + 12 – 4 = 41

88- O controle estatístico de uma industria produtora de veículos pretende estabelecer um regime de acompanhamento de 4 itens do produto final da seguinte maneira:

    - A cada lote de 10 unidades é testado o motor da ultima  unidade produzida;

    - A cada lote de 6 unidades é testado a injeção eletrônica  da última unidade produzida;

    - A cada lote de 4 unidades é testado o ar condicionado da ultima unidade;

    - A cada lote de 3 unidades é testada a qualidade dos freios da ultima unidade.

Iniciando o processo descrito no inicio da manhã de segunda-feira e prevendo uma produção de 360 unidades até o final da semana, quantas unidades produzidas terão 3 ou mais itens testados simultaneamente ?

a)    6

b)    12

c)    18

d)    30

e)    36

Comentário:

É uma questão de MMC( mínimo múltiplo comum ) . A questão solicita quantas unidades produzidas terão 3 ou mais itens testados simultaneamente logo temos que calcular o MMC dos seguintes itens:

a) MMC (10,6,4,3) = 60 ; 360/60 = 6 veículos testados os quatro itens;

b) MMC (10,6,4) = 60 ; 360/ 60 =  6 veículos testados esses três itens;

c) MMC( 6,4,3) =  12 ; 360/12 = 30 veículos testados esses três itens;

d) MMC ( 4,3,10) = 60 ; 360/60 = 6 veículos testados esses três itens;

e) MMC ( 3,10,6) = 30; 360/ 30 = 12 veículos testados esses três itens.

  Os veículos testados nas letras acima: “a”, “b”, “c” e “d” são os mesmos veículos, logo temos 12 veículos.

  Os veículos do item “c” = 30, alguns já estão inseridos nos testados acima,  neste caso MMC( 12,30) = 60, logo 360/60= 6 veículos comuns.

   Veículos testados 3 ou mais itens igual a 12 + 30 – 6 = 36 veículos.

89- Em um armário que tem 25 prateleiras vazias devem ser acomodados todos os 456 impressos de um lote: 168 de um tipo A e 288 de um tipo B. Incumbido de executar essa tarefa, um auxiliar recebeu as seguintes instruções:

 - em cada prateleira deve ficar um único tipo de impresso;

 - todas as prateleiras a serem usadas devem conter o mesmo número de impressos;

 - deve ser usada a menor quantidade possível de prateleiras.

Nessas condições, é correto afirmar que

a)    serão usadas apenas 20 prateleiras;

b)    deixarão de ser usadas apenas 11 prateleiras;

c)    deixarão de ser usadas apenas 6 prateleiras;

d)    serão necessárias 8 prateleiras para acomodar todos os impressos do tipo A

e)    serão necessárias 10 prateleiras para acomodar todos os impressos do tipo B

Comentário:

É uma questão de MDC. Calcular mdc( 168, 288) = 24,  168/24 = 7 prateleiras com tipo A; 288/24 = 12 prateleiras com tipo B. Total de prateleiras utilizadas é igual a 19.

90-

Qual é o 70^o termo da seqüência de números (a_n) definida acima?

(A) 2 (B) 1 (C) – 1 (D) – 2 (E) – 3

Comentário:

Segundo a Lei de formação construindo a seqüência temos: 2,3,1,-2,-3,-1,2,...

Na seqüência temos uma repetição de 6 termos, então:

70/6= 11 blocos( 6 termos) e sobram 4 termos, logo o termo é igual a -2.

91- Em um grupo de 1.800 entrevistados sobre três canais de televisão aberta, verificou-se que 3/5 dos entrevistados assistem ao canal A e 2/3 assistem ao canal B. Se metade dos entrevistados assiste a pelo menos 2 canais e, se todos os que assistem ao canal C assistem também ao canal A, mas não assistem ao canal B, quantos entrevistados assistem apenas ao canal A?

a) 1.080

b) 180

c) 360

d) 720

e) 108

Comentário:

Construindo o diagrama temos:

   

92- Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado  X  para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado  Y,  e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que:

a)Y  fala a verdade.

b)a resposta de  Y  foi NÃO.

c)ambos falam a verdade.

d)ambos mentem.

e)X  fala a verdade.

Comentário:

Não sabemos se o ilhéu X( intérprete)  fala a verdade ou mentira ao ser contratado pelo explorador , porém durante o diálogo poderemos identificar quais tipos de ilhéus são X e Y. .A questão informa que o explorador pergunta ao ilhéu Y se ele fala a verdade, e ele responde em sua língua. É importante observar um detalhe, uma vez que se pergunta a uma pessoa: “Você fala a verdade?”, temos duas situações:

1-    Se ela fala a verdade sua resposta será: “sim”,

2-    Se ela fala a mentira sua resposta será: “sim”.

   Logo podemos concluir que independente do tipo de ilhéu a pergunta feita pelo explorador ocasiona a uma única resposta, que no caso é “sim”. 

    Sendo assim, quando o ilhéu X diz que: “Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos” podemos ter a certeza que o ilhéu X está falando a verdade, pois a resposta do ilhéu Y foi sim, logo a afirmação de X é verdadeira. Analisando a informação do ilhéu X teremos:

       Ilhéu X: “Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos”, temos desta forma que o ilhéu Y disse sim, porém é do grupo dos mentirosos.

     Conclusão: Ilhéu X fala a verdade, Ilhéu Y é mentiroso e respondeu “sim”.

93. Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para,

a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.
b) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.
c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.
d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.
e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia

Comentário:

 

 

Na ilustração acima temos que Ana votou em Dea e Dea votou em Bia e Bia voto em Ema e  Ema votou em Clô e Clô votou em Ana. Assim percebe-se que cada uma recebeu um voto, o que está de acordo com o  enunciado. O votos foram dados de acordo com o critério estabelecido, em que cada uma votou  naquela que votou na sua  vizinha da esquerda.

94- Leonardo, Caio e Márcio são considerados suspeitos de praticar um crime. Ao serem interrogados por um delegado, Márcio disse que era inocente e que Leonardo e Caio não falavam a verdade. Leonardo disse que Caio não falava a verdade, e Caio disse que Márcio não falava a verdade.

A partir das informações dessa situação hipotética, é correto afirmar que

A) os três rapazes mentem.

B) dois rapazes falam a verdade.

C) nenhuma afirmação feita por Márcio é verdadeira.

D) Márcio mente, e Caio fala a verdade.

E) Márcio é inocente e fala a verdade.

Comentário:

Nesta questão uma saída é a aplicação do método da experimentação,supondo que  Leo fale a verdade não dará certo, mas ao supor que ele fale a mentira temos : Márcio mente, Leo mente e Caio fala a verdade.

95- Em uma caixa há duas bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas pretas. Serão retiradas N bolas dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmente aleatória. O menor valor positivo de N , para que se possa garantir que haverá bolas de todas as cores, é :

(A) 4           (B) 5        (C) 6           (D) 7       (E) 8

Comentário:

O menor valor positivo de N , para que se possa garantir que haverá bolas de todas as cores temos que supor que são retiradas 4 pretas + 3 amarelas + 1 azul, logo deverão ser 08(oito) bolas.

96- Em um quarto totalmente escuro, há uma gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares de meias pretas. Devido à escuridão, é impossível ver a cor das meias. Quantas meias devem ser retiradas para que se tenha certeza de que, entre as meias retiradas, haja pelo menos um par de meias pretas?

(A) 8

(B) 6

(C) 5

(D) 4

(E) 2

Comentário:

Para que se tenha certeza de que, entre as meias retiradas, haja pelo menos um par de meias pretas é necessário retirar  6 meias ( supondo que sejam brancas) + 2 meias ( pretas ) = 8 meias .

97- (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

a) nenhum professor de violão é professor de canto

b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro

c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro

d) todos os professores de piano são professores de canto

e) todos os professores de piano são professores de violão

Comentário:

    

 Nenhum professor de violão é professor de canto

98- (ESAF/AFC-2006) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma, Pode-se, então, concluir corretamente que:

a)Ana não é artista e Carlos não é compositor.

b)Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.

c)Mauro gosta de música e Daniela não fuma

d)Ana não é artista e Mauro gosta de música.                 

e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa

Comentário:

Considerando que as proposições verdadeiras e aplicando os conectivos lógicos temos:

Ana não é  artista: verdadeira;

Daniela não fuma: verdadeira;

Flávia não é fotógrafa: falsa;

Carlos é compositor: verdadeira

Mauro gosta de música: falsa

99-(ESAF/MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.

c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro

d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Comentário:

Dada a proposição : “André é artista ou Bernardo não é engenheiro”     e aplicando a Lei comutativa temos :  “Bernardo não é engenheiro ou André é artista” e aplicando a Lei condicional temos: “Se Bernardo é engenheiro então André é artista”.

100-(FUNIVERSA/PCDF-2009) Uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição “se o cão mia, então o gato não late” é a proposição

a) o cão mia ou o gato late.

b) o cão mia e o gato late.

c) o cão não mia ou o gato late.

d) o cão não mia e  o gato late.

e) o cão não mia ou o gato não late.

Comentário:

A negação da proposição condicional : “se o cão mia, então o gato não late” é “o cão mia e o gato late”.

ARGUMENTAÇÃO LÓGICA

15.1- Definição de argumento lógico

Quando nos deparamos com uma afirmação de uma dada seqüência finita de proposições (P1, P2,..., Pn sendo n ≥ 1), onde tem como conseqüência uma proposição final Q, denominamos esta afirmação de Argumento.

No exemplo do parágrafo acima, citamos as proposições P1, P2,...Pn, essas chamamos de premissas do argumento, já a proposição final Q, chamamos de conclusão do argumento.

Representamos um argumento de premissas P1, P2,...Pn e de conclusão Q da seguinte maneira:

P1, P2,...Pn        Q

O argumento acima pode ser lido de uma das seguintes formas:

a) “P1, P2,..., Pn acarretam Q”

b) “Q decorre de P1, P2,..., Pn”

Chamamos de Silogismo um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão.

15.2- Validade de um argumento

15.2.1- Argumento válido

Para um argumento ser válido é necessário que as premissas juntamente com a sua conclusão (P1, P2,..., Pn          Q)  sejam verdadeiras.

Por isso, todo argumento válido faz uso da seguinte propriedade característica:

“A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão”.

Exemplo 1:

Dado o argumento p ↔ q, q         p, verifique a sua validade por meio de tabela-verdade:

Resolução:

p	q	p ↔ q
V	V	1ª   V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

As premissas do argumento dado acima aparecem nas colunas 2 e 3 da tabela-verdade e a conclusão deste argumento aparece na coluna 1. Repare, que as premissas são ambas verdadeiras (V) somente na primeira linha e nesta mesma linha, a conclusão também é verdadeira (V), portanto o argumento dado é válido , pois não é possível ter premissas verdadeiras com conclusão falsa.

Exemplo 2:

Dado o argumento:

Se 7 é primo, então 7 não divide 21

7 divide 21

Logo, 7 não é primo

Resolução:

Antes de construirmos a tabela-verdade devemos simbolizar as proposições dadas.

p: 7 é primo.

q: 7 divide 21.

Feito isto passaremos o argumento para a linguagem simbólica:

p → ~ q, q         ~ p

p	q	~ p	~ q	p → ~ q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	3ª   V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

 As premissas do argumento dado aparecem nas colunas 2 e 5, já a conclusão na coluna 3. As premissas são verdadeiras somente na 3ª linha e nesta mesma linha a conclusão também é verdadeira. Portanto, afirmamos que este é um argumento válido.

EXERCÍCIO:

1- Verifique por meio de tabela-verdade a validade dos argumentos:

a) Se x = 0, então x + y = y

    Se y = z, então x + y ≠ y

    Logo, se x = 0, então y ≠ z

b) p → q, r → ~ q         r → ~ p

c) p → ~ q, p, ~ q → r          r

d) p ۷ ~ q, ~ p, ~ (p ۸ r) → q         r

Exercícios:

1.      Deteminar o valor verdade de cada uma das seguintes proposições:

(a)    número 17 é primo.

(b)   Fortaleza é a capital do Maranhão.

(c)    Tiradentes morreu enforcado.

(d)   (3+5)² = 3²  + 5²

(e)    -1 < -7

(f)    hexaedro regular tem 8 arestas.

2.      Sejam as proposições

p: Pedro saiu.

q: Maria está aqui.

Forme sentenças na linguagem natural que correspondam às seguintes proposições:

a)      Øp

b)      Øq

c)      p Ù q

d)     p Ú q

e)      Øp Ù q

f)       p Ú Øq

g)      Ø(p Ù q)

h)      Ø(p Ú q)

i)        Øp Ú Øq

j)        Øp Ù Øq

3.      Sejam as proposições:

p: Luíza é modelo.

q: Luíza é atriz.

Escreva na forma sentencial cada uma das proposições abaixo:

a)      Luíza não é modelo.

b)      Luíza é modelo e atriz.

c)      Luíza é modelo e não é atriz.

d)     Luíza não é modelo e atriz.

e)      Luíza é modelo ou atriz.

f)       Luíza é modelo ou não é atriz.

g)      Luíza não é modelo ou atriz.

h)      Luíza não é modelo ou é atriz.

i)        Não é verdade que luíza é modelo ou atriz.

j)        Não é verdade que Luíza não é modelo ou não é atriz.

k)      Luíza não é modelo nem atriz.

4.      Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo, traduzir pára a linguagem natural as seguintes proposições:

a)      Øp

b)      p Ù q

c)      p Ú q

d)     q«p

e)      p ® Øq

f)       p Ú Øq

g)      Øp Ù Øq

h)      p « Øq

i)        p Ù Øq ® q

5.      Sejam as proposições p:Jorge é rico e q: Carlos é feliz, traduzir para a linguagem natural as seguintes proposições:

a)      q ® p

b)      p Ú Øq

c)      q « Øp

d)     Øp ® q

e)      ØØp

f)       Øp Ù q ® p

6.      Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante, traduzir para a linguagem sentencial as seguintes proposições:

a)      Marcos é alto e elegante.

b)      Marcos é alto mas não é elegante.

c)      Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante.

d)     Marcos não é nem alto e nem elegante.

e)      Marcos é alto ou é baixo e elegante.

f)       É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante.

7.      Sejam as proposições p: Suely é rica e q: Suely é feliz, traduzir para a linguagem sentencial as seguintes proposições:

a)      Suely é pobre, mas feliz.

b)      Suely é rica ou infeliz.

c)      Suely é pobre e infeliz.

d)     Suely é pobre ou rica, mas é infeliz.

8.      Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão, traduzir para a forma sentencial as seguintes proposições:

a)      Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão.

b)      Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão.

c)      É falso que Carlos fala francês mas não fala alemão.

d)     É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês.

9.      Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)      p Ù Øq

b)      p Ú Øq

c)      Øp Ù q

d)     Øp Ù Øq

e)      Øp Ú Øq

f)       p Ù (Øp Ú q)

10.  Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:

a)      V(q) = F  e  V(p Ù q) = F

b)      V(q) = F  e  V(q ® q) = V

c)      V(q) = F  e  V(p ® q) = F

d)     V(q) = F  e V(q ® p) = V

e)      V(q) = V  e V(p « q) = F

f)       V(q) = F  e  V(q « p) = V

11.  Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo:

a)      V(p ® q) = V  e  V(p Ù q) = F

b)      V(p ® q) = V  e  V(p Ú q) = F

c)      V(p « q) = V  e  V(p Ù q) = V

Livros: – Iniciação à Lógica Matemática – Edgar de Alencar Filho – Ed. Nobel

          – Raciocínio  Lógico – Jonofon Serates – Ed. Jonofon

 Capítulo 1: Proposições

1.   Proposição e Valor Lógico

Proposição:

         É todo conjunto de palavras ou símbolos ao qual podemos atribuir um valor lógico.

Valor Lógico:

         Diz-se que o valor lógico de uma proposição é “verdade” (V) se a proposição é verdadeira e “falsidade” (F) se a proposição é falsa.

Exemplos:

a)    A Lua é um satélite.

b)   Recife é a capital de Pernambuco.

c)    Vasco da Gama descobriu o Brasil.

d)   Dante escreveu Os Lusíadas.

e)    ½ é um número inteiro.

2.   Princípio da não contradição e do 3^o excluído

i) Princípio da não contradição

         Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

ii) Princípio do 3^o excluído

         Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Assim, esse princípios afirmam que

         Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F

3.   Proposição simples e Proposição composta.

Proposição simples:

         Chama-se proposição simples  ou atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

As proposições simples são igualmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s,...

Exemplos:

         p: Carlos é Careca

         q: Pedro é estudante

         r: o número 25 é quadrado perfeito

Proposição composta:

         Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.

         As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S,...

Exemplos:

        

         P: Carlos é careca e Pedro é estudante

         Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante

         R: Se Carlos é careca então é infeliz

4.   Tabela-Verdade

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado.

         Utilizaremos a tabela-verdade para verificar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta.

Atribuição de valores:

         Sabemos que uma proposição simples é verdadeira ou falsa:

P

V

F

         Se uma proposição é composta por n proposições simples então teremos 2ⁿ atribuições possíveis.

Exemplos:

1)   n=2  ( p, q ) teremos 4 atribuições possíveis

	p	q
1	V	V
2	V	F
3	F	V
4	F	F

2) n=3  (p, q, r) teremos 8 atribuições possíveis

	p	q	r
1	V	V	V
2	V	V	F
3	V	F	V
4	V	F	F
5	F	V	V
6	F	V	F
7	F	F	V
8	F	F	F

Exercícios: Faça a tabela de atribuições possíveis para n=4 e n=5.

Capítulo 2: Operações Lógicas sobre Proposições

Os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições. Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números.

A fim de simplificarmos o estudo, apresentaremos os conectivos lógicos através de suas respectivas tabelas-verdade.

2.1 Negação: ‘~‘

Dado um enunciado qualquer ‘p’, podemos formar o enunciado ‘~p’, dito negação de ‘p’. Se ‘p’ for um enunciado verdadeiro, ‘~p’ é falso. Se ‘p’ for um enunciado falso, então ‘~p’ é verdadeiro.

p	~p
V F	F V

Assim, considerando o enunciado

                  

p: O sol é uma estrela

sua negação será

~p: O sol não é uma estrela

ou  também

~p: não é o caso que o sol seja uma estrela

Uma vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso.

Exercício: Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico:

1)   p: A neve é branca

2)   p: Roma é a capital da França

3)   p: Realengo pertence à Zona Sul do Rio.

2.2 Conjunção ‘Ù’

Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção dos dois primeiros, pela ação do conectivo  ‘Ù’. Assim, dados dois enunciados:

Brasília é uma cidade

e

Brasília é a capital do Brasil

podemos formar a conjunção

Brasília é uma cidade Ù Brasília é a capital do Brasil

É importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por exemplo:

O café está amargo Ù Cláudia estuda música

A interpretação do conectivo ‘Ù’ é análoga à linguagem corrente, veja pela tabela:

p	q	pÙq
V V F F	V F V F	V F F F

Assim, considerando os enunciados

                            p: A neve é branca

                            q: 2<5

a conjunção será

                            pÙq: A neve é branca e 2<5

                  

Uma vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então pÙq verdadeiro.

Exercício: Indique o valor lógico de pÙq considerando os seguintes enunciados:

1)   p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2)   p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3)   p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

2.3 Disjunção ‘Ú’

Na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do conectivo ‘ou’ – o uso exclusivo e o uso não-exclusivo. Vejamos os exemplos:

(1)  Mariana é alagoana ou cearense

(2)  Carla é médica ou professora

No primeiro exemplo o uso do ‘ou’ é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente.

No segundo exemplo temos a utilização do ‘ou’ não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras.

A disjunção representada pelo conectivo lógico ‘Ú’ tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado pela tabela abaixo:

p	q	pÚq
V V F F	V F V F	V V v F

Assim, considerando os enunciados

                            p: A neve é azul

                            q: 2>5

a disjunção será

                            pÚq: A neve é azul Ú 2>5

                  

Uma vez que p é falso e q também é falso, teremos então pÚq falso.

Exercício: Indique o valor lógico de pÚq considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

2.4 Condicional ‘à’ (se ... então)

Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração:

(1) Se amanhã fizer sol então Joana irá à praia

1^o caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

2^o caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (1) é um enunciado falso.

3^o caso: Não fez sol e Joana não foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

4^o casos: Não fez sol e Joana foi à praia – ainda podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

Assim, a tabela de valores lógicos da condicional é:

p	q	pà q
V V F F	V F V F	V F V V

Na condicional p à q

i)             ‘p’ é dito antecedente da condicional ou condição suficiente para ‘q’

ii)            ‘q’ é dito conseqüente da condicional ou condição necessária para ‘p’

Exercício: Indique o valor lógico de pà q considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

2.5 Bicondicional ‘«’ (se e somente se)

Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo ‘«’. Assim, ‘p«q’, será dito bicondicional de ‘p’ e ‘q’. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos.

         Tem-se então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional:

p	q	p«q
V V F F	V F V F	V F F V

Na bicondicional ‘p«q’

i)             ‘p’ é dito condição necessária e suficiente para ‘q’

ii)            ‘q’ é dito condição necessária e suficiente para ‘p’

Note-se que o conectivo ‘«’ pode ser definido mediante ‘à’ e ‘Ù’. Assim a fórmula ‘p«q’ equivale à fórmula ‘(pàq) Ù (qàp)’  .

Capítulo 3: Tautologia, Contradição e Contingência

3.1 Tautologia

Denomina-se tautologia ou proposição tautológica a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém somente valores V (verdadeiro).

3.2 Contradição

Denomina-se contradição ou proposição contraditória a proposição composta que é sempre falsa. Na tabela de verdade de uma proposição contraditória, a última coluna contém somente valores F (falso).

3.3 Contingência

Denomina-se contingência ou proposição proposição contingencial a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa.  Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém valores V (verdadeiro) e F(falso).

Exercícios:

1) Considere as sentenças:

p: Tales é filho de Wilson

q: Tales é neto de Jonofon.

Escreva, na forma simbólica, cada uma das sentenças seguintes:

a) Tales não é filho de Wilson.

b) Tales é filho de Wilson e neto de Jonofon

c) Tales é filho de Wilson e não é neto de Jonofon

2) Sejam as proposições:

p: O rato entrou no buraco.

Q: O gato seguiu o rato.

Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: ) p ÙÙÚ®«

a) ~p Ù ~q

b) p Ú q

c) ~p

3) Construir a tabela de verdade de cada uma das seguintes proposições:

a) ~(p Ú q) Ù ~ (q « p)

b) [p ® (~q Ù r)] Ù [ q Ù (p « ~r)]

c) [(p Ù q) ® r] Ú [~p « (q Ù ~r)]

4) Sabendo que os valores lógicos das proposições ‘p’ e ‘q’ são respectivamente, F e V, determinar o valor lógico  (V ou F) da proposição:  [p Ú (~q ® q)] Ú ~[(p « ~q) ® (q Ù ~p)]

5) Determinar o valor lógico de ‘p’, isto é, v (p),  sabendo que:

a) v(q) = V e v( p « q ) = F

b) v(q) = V e v( p Ú q) = V