DETERMINANTE

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:

Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.

Diagonal principal: 2 * 6 = 12
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9

Det_A = 12 – (–9)
Det_A = 12 + 9
Det_A = 21 

Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3.

Regra de Sarrus

Diagonal principal 
2 * 6 * 3 = 36
5 * 7 * (–1) = – 35
6 * 1 * 2 = 12

Soma
36 + (–35) + 12
36 – 35 + 12
48 – 35 
13

Diagonal secundária
6 * 6 * (–1) = –36
2 * 7 * 2 = 28
5 * 1 * 3 = 15

Soma 
–36 + 28 + 15
–36 + 43
7

Det_B = 13 – 7 
Det_B = 6

Matriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação de determinante. Os determinantes apresentam aplicações na resolução de sistemas lineares e no cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

Determinante de uma matriz de 1ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a₁₁], seu determinante será o número a₁₁. Ou seja:
det M = a₁₁

Determinante de uma matriz de 2ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Determinante de uma matriz de 3ª ordem.

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:

Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:

O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.

2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

(a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ )

3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:

(a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:

det A = (a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₁₂∙a₂₃∙a₃₁ + a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ ) - (a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:

Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz 

Solução:

Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.

Solução:

det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9

Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:

Solução:

Propriedade 2.

Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.

Exemplo:

Propriedade 3.

Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, então seu determinante será nulo.

Exemplo:

Propriedade 4.

Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz forem multiplicados por um número real p qualquer, então seu determinante também será multiplicado por p.

Exemplo:

Propriedade 5.

Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado por p^m.

det (p∙A) = p^m∙det A

Exemplo:

Propriedade 6.

O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
det A=det A^t

Exemplo:

Propriedade 7.

Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante será o oposto da matriz anterior.

Exemplo:

Propriedade 8.

Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, então o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

Propriedade 9.

O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma delas.
det (A∙B) = det A ∙ det B

Propriedade 10.

Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Se somarmos os elementos da coluna 1 com o dobro dos elementos da coluna 2, o determinante não irá se alterar.

a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 1131

Questão 1

• Unicap - PE
  Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
  
  
  


• Questão 2
  U.F. Ouro Preto – MG
  Considere a matriz:
  
  
  


• Questão 3
  Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.
  
  
  


• Questão 4
  O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. 
  
  
  


• Questão 5
  (Unicamp - SP)
  Seja a um número real e seja:
  
  a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0
  b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.
  
  

Respostas

• Resposta Questão 1
  
  Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.
  
  
  
  


• Resposta Questão 2
  
  
  
  Ao resolver esta desigualdade obteremos o seguinte conjunto solução:
  
  
  


• Resposta Questão 3
  
  
  Ou seja, temos dois valores para x que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a 8.
  
  
  


• Resposta Questão 4
  
  
  Façamos as matrizes B e C.
  
  
  
  


• Resposta Questão 5
  
  a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:
  
  Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:
  3 - x = 0    ou    (1 - x) ² + 4 = 0
  Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.
  Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1.
   b)
  
  Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:
  
  Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.
  
  

                                                      Teorema de Laplace

Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:

Precisamos encontrar os valores dos cofatores:

 

Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:

 

Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma de suas filas, a utilização do teorema de Laplace se torna interessante, pois não será necessário calcular diversos cofatores.

Vejamos um exemplo deste fato:

Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace:

 

Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace.

 

Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22.

 

Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:

det B = (- 1) . (- 65) = 65