Números quadrado perfeito

propriedades fundamentais para um número quadrado perfeito.

Olhando para os exemplos podemos induzir algumas previsões, que requerem prova rigorosa.

"Todo quadrado perfeito par, tem raiz par"

4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).

PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por . Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perefeito requer k=2y^2, ou seja, , portanto um número par.

"Todo quadrado perfeito impar, tem raiz impar"

1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).

PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.

As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos numeros não são quadrados perfeitos. [1]

"Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito"

basta avaliar os exemplos acima e outros mais.

PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois numeros iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multipicada por si mesma. Ora o produto de dois numeros iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os numeros terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois numeros iguais.

"Todo numero par que não fôr divisivel por 4, não é quadrado perfeito"

2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.

PROVA: Todo o numero par é divisivel por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisivel por 2, e por 2x2=4.