RESOLUÇÃO CÁLCULO ALGÉBRICO

                                      

PRÉ-VESTIBULAR PRÉ-ENEM

     MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

	Professora: Diana D’Ark Site:http://matematicaemsuasmaos.blogspot.com.br

 

CÁLCULO ALGÉBRICO

Questão 1

Obter o valor numérico do polinômio:

P(x) = 3x³ + 2x² + x – 3 para x = –2

Resolução

P(-2) = 3 (-2)³ + 2 (-2)² + (-2) – 3 = –24 + 8 – 2 – 3

Assim, P (-2) = –21

Questão 2

 Verificar quais números do conjunto {–2, –1, 0, 1, 2, 3} são raízes de:

P(x) = x³ – 2x² – 5x + 6

Resolução

P(–2) = (–2)³ – 2(–2)² – 5(–2) + 6

P(–2) = –8 – 8 + 10 + 6

P(–2) = 0  –2 é raiz de P(x)

P(–1) = (–1)³ – 2(–1)² – 5 (–1) + 6

P(–1) = –1 – 2 + 5 + 6

P(–1) = 8  –1 não é raiz de P(x)

P(0) = (0)³ – 2 · 0² – 5 · 0 + 6

P(0) = 0 – 0 – 0 + 6

P(0) = 6  0 não é raiz de P(x)

P(1) = 1³ – 2 · 1² – 5 · 1 + 6 = 1 – 2 – 5 + 6

P(1) = 0  1 é raiz de p(x)

P(2) = 2³ – 2 · 2² – 5 · 2 + 6

P(2) = 8 – 8 – 10 + 6

P(2) = – 4  2 não é raiz de p(x)

P(3) = 3³ – 2 · 3² – 5 · 3 + 6

P(3) = 27 – 18 – 15 + 6

P(3) = 0  3 é raiz de P(x)

Questão 3

 Determine m para que 1 + i seja raiz de

P(x) = x² + mx + 2.

Resolução

P(1 + i) = (1 + i)² + m(1 + i) + 2

P(1 + i) = 1 + 2i + i² + m + mi + 2

P(1 + i) = 1 + 2i – 1 + m + mi + 2

P(1 + i) = (m + 2) + (m + 2)i

Para que P(1 + i) = 0, devemos ter

m + 2 = 0  m = –2

Questão 4

 Dado o polinômio P(x) = x² + 2x + 5, obter
M(x) = P (x + 1).

Resolução

M(x) = P(x + 1) = (x + 1)² + 2(x + 1) + 5

M(x) = x² + 2x + 1 + 2x + 2 + 5

M(x) = x² + 4x + 8

Questão 5

A soma dos coeficientes de
P (x) = (x² +2x – 1)³ é:
soma = P (1) = (1² + 2 · 1 – 1)³ = 2³ = 8

Grau de um Polinômio 

Questão 6

Indicar o grau de cada um dos polinômios abaixo:

a) P(x) = 3x⁵ – 2x³ + 7  G_P = 5

b) P(x) = 1 + 2x + 3x² + x³  G_p = 3

c) P(x) = x² – x⁵ + 2  G_P = 5

d) P(x) = 3  G_P = 0

e) P(x) = 0   G_P

Questão 7

Estudar as condições para que o polinômio
P(x) = (a – 3) x² + (b – 1) x + (c – 2) tenha grau igual a zero.

Resolução

Devemos ter:

a – 3 = 0  a = 3

b – 1 = 0  b = 1

c – 2  0  c  2

Questão 8

 (UFG-GO) Na divisão do polinômio
P(x) = ax³ + bx² + cx + d pelo polinômio D(x) = x² + 1

 encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = – x + 1.

Então, P(x) é o polinômio:

a) x³ – x² + x + 1

b) 2x³ – x² + 1

c) 2x³ – x² – x + 1

d) 2x³ – x² + x

Resolução

ax³ + bx² + cx + d = (2x – 1)(x² + 1) + (–x + 1)

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ + 2x – x² – 1 – x + 1

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ – x² + x

Logo:      Portanto, P(x) = 2x³ – x² + x

Resposta: D

Questão 9

Determinar m, n e p de modo que: P(x) = px4 + (n – p – 1)x2 + (2m – n – p)x seja um polinômio nulo. Resolução P(x)= px4 + (n – p – 1)x2 + (2m – n – p)x = 0,  x p = 0, n – p – 1 = 0 e 2m – n – p = 0        p = 0, n = 1 e m =  Questão 10 (PUC-SP) O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x +1) é: a) 0               d) 3 b) 1               e) 4 c) 2 Resolução P(x) = (x2 + 1) (x – 1) (x +1) Raízes de P(x)  P(x) = 0       x2 + 1 = 0  complexas Raízes reais = 2 Resposta: C Questão 11  Se P(x) = 2x3 + ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, então, P(1) é: a) 1               d) 4 b) 2               e) 5 c) 3 Resolução P(2) = 2 · 23 + a · 2 + b = 12   2a + b = – 4 ...................(1) P(–2) = 2 · (–2)3 + a · (–2) + b = 8   –2a + b = 24 ........(2)

De (1) e (2) temos a = –7 e b = 10. Assim,
P(x) = 2x³ – 7x + 10.

Portanto, P(1) = 2 · 1³ – 7 · 1 + 10 = 5

Resposta: E

Questão 12

. (Mackenzie-SP) O polinômio
P(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 é de grau

2 se, e somente se:

a) m = 4 ou m = – 4

b) m  4

c) m  – 4

d) m  4 e m  – 4

e) para nenhum valor de m

Resolução

Resposta: E

Questão 13  (UFRS-RS) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então, o grau de [P(x)]3+ [P(x)]2 + 2P(x) é: a) 3               d) 20 b) 8               e) 30 c) 15 Resolução gr (P) = 5 gr [P(x)]3 = 5 · 3 = 15 gr [P(x)]2 = 5 · 2 = 10 gr [2P(x)] = 5 Temos então três polinômios de graus diferentes. Logo, para gr {[P(x)]3+ [P(x)]2 + 2P(x)}  o grau será o do polinômio de maior grau , ou seja, 15. Resposta: C Polinômios Idênticos Questão 14 Calcular a, b e c para que os polinômios sejam idênticos: P(x) = ax4 + (b + 1)x3 + (c – 2)x – 5 M(x) = 3x3 + 4x – 5 Resolução Devemos ter: ax4 + (b + 1)x3 + 0x2 + (c – 2)x – 5 = = 0x4 + 3x3 + 0x2 + 4x – 5 para  x  C Assim: a = 0; b + 1 = 3 e c –2 = 4 ou seja: a = 0; b = 2 e c = 6

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Questão 15 Adição de Polinômios Dados os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 3x2 + 4x + 1, obter o  polinômio S(x), tal que S(x) = A(x) + B(x). Resolução Observemos que: A(x) = 0x3 + x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 3x2 + 4x + 1 S(x) = (0 + 1)x3 + (1 – 3)x2 + (–3 + 4)x + (2 + 1) Assim: S(x) = x3 – 2x2 + x + 3 Questão 16

 Multiplicação de Polinômios

Dados os polinômios

A(x) = x² – 3x + 2 e B(x) = x³ – 3x² + 3, obter o polinômio P(x), tal que P(x)  A(x) · B(x).

Resolução

P(x) = x²(x³ – 3x² + 3) – 3x(x³ – 3x² + 3) +

+ 2(x³ – 3x² + 3)

P(x) = x⁵ – 3x⁴ + 3x² – 3x⁴ + 9x³ – 9x + 2x³ – 6x² + 6

P(x) = x⁵ – 6x⁴ + 11x³ – 3x² – 9x + 6

Questão 17

01. (UFG-GO) Na divisão do polinômio
P(x) = ax³ + bx² + cx + d pelo polinômio D(x) = x² + 1 encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = – x + 1. Então, P(x) é o polinômio:

a) x³ – x² + x + 1

b) 2x³ – x² + 1

c) 2x³ – x² – x + 1

d) 2x³ – x² + x

Resolução

ax³ + bx² + cx + d = (2x – 1)(x² + 1) + (–x + 1)

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ + 2x – x² – 1 – x + 1

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ – x² + x

Logo:      Portanto, P(x) = 2x³ – x² + x

Resposta: D

Questão 18 Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2. Resolução r = P(2) = 16 – 3 · 4 + 2 · 2 – 1 Assim, r = 7 Questão 19 Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2 Resolução x + 2 = x – (–2) Então: r = P(–2) r = (–2)4 + 2 (–2)3 + 3(–2)2 – 6 r = 6 Questão 20 Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4 x – 2 seja divisível por (x + 3). Resolução Devemos ter: P(–3) = 0 Assim: k (–3)3 + 2 (–3)2 + 4 (–3) –2 = 0 Então K =  Questão 21 Calcular o quociente e o resto da divisão de  3x3 – 2x2 + 5x – 7 por x – 2 Questão 22 Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 – 20x – 21 por (x + 1) Questão 22 Dado P(x) = 5 x4 – 9x3 +2x2 – 5x – 11, calcular P(3). Questão 23

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = 2x⁴ +  4x³–7x²+12 por D(x) = (x – 1).

Questão 24

O resto da divisão do polinômio P(x) = x³ – 5x² + 10x – 8 pelo binômio (x – 2) é igual a

A) – 3

B) – 2

C)    0

D)    1

E)    2

Questão 25

O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:
a) 1
b) 2
c) 10
d) 11
e) 12
 

Questão 26

Considere o polinômio

Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:

a) 386.

b) 405.

c) 324.

d) 81.

e) 368.

P(1)=4.1  + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2

4 + 3 – 2 + 1+ k = 2

10 + k = 2

k = 2 – 6

k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

P(3) =  4x^4  + 3x³ + 2x² + x – 4

= 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4

= 324 + 81 – 18 + 3 – 4

= 386

Questão 27

O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é:
a) 1
b) 2
c) 10
d) 11
e) 12
 

Questão 28

A soma entre dois números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor número é:

a) 7.

b) 23.

c) 61.

d) 17.

e) 49.

 Sejam x e y esses números:

x + y = 37

x.y = 330

Da primeira equação temos que y = 37 – x, que substituindo na segunda:

x(37 – x) = 330

37x – x² – 330 = 0

x² – 37x + 330 = 0

Note que a = 1, b = -37, c = 330

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4ac = (-37)² – 4.1.(330) = 1369 – 1320 = 49

Calculando as raízes:

Daí, x’ = (37+7)/2 = 22 e x” = (37-7)/2 = 15

Assim, se x = 22, y = 15, e se x = 15, y = 22.

Logo, 22 – 15 = 7

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